КНИГА МАТЕРЕЙ

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » КНИГА МАТЕРЕЙ » Четвёртое измерение » Чарльз Говард Хинтон


Чарльз Говард Хинтон

Сообщений 1 страница 10 из 10

1

Четвёртое измерение - Начать новую тему

Чарльз Говард Хинтон  – британский математик, автор научно-фантастических работ под названием "Научные романы" (Scientific Romances). Чарльз Хинтон родился в Лондоне в 1853 году, и был единственным сыном знаменитого лондонского хирурга-отоларинголога Джеймса Хинтона, друга Джорджа Эллиота и автора многих книг, пользовавшихся в свое время широкой известностью. Джеймс Хинтон был известен, как автор книги "Тайна боли" (Mystery of pain). (Мартин Гарднер, Флатландия)
Теории Чарльза Хинтона касались высших измерений. Наибольшую известность Хинтон получил как автор книг и статей о четвертом измерении. Он развивал метод построения моделей четырехмерных фигур (по их трехмерным сечениям) из сотен маленьких кубов, определенным образом размеченных и раскрашенных. Метод подробно изложен в двух наиболее важных книгах Хинтона—"Четвертое измерение" ("The Fours Dimension") и "Новая эра в мышлении" ("A New Era of Thought") Хинтон утверждал, что в результате многолетней работы с кубами он научился мыслить четырехмерными образами. Он объяснил свой метод сестре жены, восемнадцатилетней Алисии Буль. Несмотря на отсутствие математического образования, девушка быстро овладела четырехмерной геометрией и впоследствии даже сделала немало важных открытий в этой области. (Об Алисии Буль и ее достижениях в четырехмерной геометрии рассказывает на страницах своей книги "Правильные политопы" Г. С. М. Коксетер). Хинтон известен тем, что придумал слово "тессеракт", а также своими работами над методами визуализации геометрии высших измерений.
Хинтон преподавал в Челтнемском Колледже, во время учёбы в Бейлиол-колледже, Оксфорд, где он получил степень бакалавра в 1877 году. С 1880 по 1886 год Хинтон -  преподаватель в Школе Аппингема в Ратленде, где работал Говард Кэндлер, друг Эдвина Эббота Эббота. Хинтон также получил степень магистра от Оксфорда в 1886 году.
В 1880 году Хинтон женился на Мэри Эллен, дочери Мэри Эверест Буль и Джорджа Буля, одного из предтеч математической логики. Мэри Эверест – племянница знаменитого географа Джорджа Эвереста, она также занималась наукой и преподавала. Две их дочери снискали известность, как учёные: Алисия – геометр, Люси – химик. Мэри была женой Хинтона, Маргарет – мать математика Дж. И. Тейлора и Этель Лилиан Войнич прославилась как писатель. Джордж Буль в основном был известен как автор ряда трудных для понимания статей на математические темы, однако его труды обнаруживают широкое и глубокое знакомство с литературой. Его любимым поэтом был Данте, причём «Рай» нравился ему больше, чем «Ад».
В 1883 году Хинтон под именем Джона Уэлдона сочетался браком с Мод Флоренс, у них было двое детей. Впоследствии он был осуждён за двоежёнство и провёл три дня в тюрьме, потеряв работу в Аппингеме.

Четвёртое измерение - Начать новую тему
Семья Хинтона, 1890

Его отец, Джеймс Хинтон был радикальным сторонником полигамных отношений, и, по словам матери как-то сказал ей: «Христос – Спаситель Мужчин, а я Спаситель Женщин, и я ему нисколько не завидую». В 1887 году Чарльз с Мэри Эллен переехал в Японию для работы в миссии, прежде чем поступить на работу в Государственную школу Виктории в качестве директора. В 1893 году он отплыл в США на СС Такома для вступления в должность преподавателя математики в Принстонском Университете.
В университете Миннесоты Хинтон работал в качестве ассистента профессора до 1900 года, после чего ушёл в отставку для переезда в военно-морскую обсерваторию США в Вашингтоне, округ Колумбия. Под конец жизни Хинтон работал ревизором патентов по химии Патентного бюро Соединённых Штатов. Умер он неожиданно от кровоизлияния в мозг 30 апреля 1907 года. Нью-йоркская газета «Сан» поместила по этому поводу длинный некролог, автор которого привел немало красочных подробностей из жизни Хинтона. Однажды Хинтон пришел на футбольный матч с хризантемой в петлице сюртука. Какой-то незнакомец попытался сорвать цветок. Хинтон сграбастал обидчика и перебросил его через оказавшийся поблизости забор. В 1897 году Хинтон прославился тем, что изобрел автоматическую «биту» для игры в бейсбол. «Биту» заряжали порохом, и она выстреливала мячи с любой заданной скоростью и по какой угодно траектории. «Биту» в течение некоторого времени использовали для тренировки команды Принстонского университета, но после нескольких несчастных случаев игроки стали бояться ловить выпущенные ею мячи. (Мартин Гарднер)
В статье 1880 года «Что такое Четвёртое измерение?», Хинтон предположил, что точки, перемещаясь в трёх измерениях, могли бы быть представлены как последовательные поперечные сечения статического четырёхмерного расположения линий, проходящих через трёхмерную плоскость, идея, предполагающая понятие мировых линий и времени как четвёртого измерения (хотя Хинтон не предлагал этого явно, и статья главным образом касалась возможности четвёртой пространственной мерности) в теории относительности Энштейна. Позже Хинтон представил систему цветных кубов, изучая которые, как он утверждал, можно было научиться визуализировать четырёхмерное пространство (Casting out the Self, 1904). Впоследствии ходили слухи, что эти кубы послужили причиной невменяемости многих людей.
Хинтон ввёл несколько новых слов для описания элементов четвёртого измерения. Согласно Оксфордскому словарю, он начал использовать слово «тессеракт» в 1888 году, написав об этом в своей книге «Новая Эра Мысли» («New Era of Thought»). Он также ввёл слова kata (от греческого «вниз от») и ana (от греческого «вверх к») для описания двух противоположных четырёхмерных направлений - 4-D эквиваленты левого и правого, вперёд и назад, и вверх и вниз.

Четвёртое измерение - Начать новую темуЧетвёртое измерение - Начать новую тему Четвёртое измерение - Начать новую тему
Анимированная проекция
вращающегося тессеракта
                          Развёртка тессеракта                 Вращающаяся модель тессеракта.
                                                                                                                                      Эта модель показывает грани
                                                                                                                                      тессеракта — равные кубы

Научные романы Хинтона, включая «Что такое Четвёртое измерение?» и «Плоскость Вселенной» были изданы серией из девяти брошюр в Swan Sonnenschein & Co в течение 1884–1886 гг. Во введении к «Плоскости Вселенной» Хинтон ссылался на «Флатландию» Эббота, как имеющую аналогичную конструкцию, но различные намерения. Эббот использовал рассказы как «место действия для размещения своей сатиры и уроков. Но в первую очередь мы хотели бы знать физические факты». Мир Хинтона существовал вдоль периметра круга, а не на бесконечной плоскости. Роман Чарлза Ховарда Хинтона «Эпизод из жизни Флатландии», вышедший в Лондоне в 1907 году, отличается от книги Эбботта значительно большей претенциозностью и большим объемом (около 200 страниц). (Мартин Гарднер) Хинтон был одним из многих труднопонимаемых мыслителей, которых упоминал Хорхе Луис Борхес. Он упоминается Борхесом в рассказах: «Тлён, Укбар, Орбис Терциус», «Есть многое на свете» и «Тайное чудо» или другое название «Сокровенное чудо».

«И лишь к "Опровержению вечности" был снисходительнее: в первом томе прослеживалась история различных теорий вечности, от вечного до неизменного бытия Парменида до модифицирующегося прошлого Хинтона. Во втором, вслед за Френсисом Бредли, отрицалась мысль о том, что все явления Вселенной можно измерить во времени, и доказывалось, что число возможных вариантов человеческого опыта не бесконечно, и достаточно одного "повторения", чтобы понять: время - обман...». (Борхес, «Тайное чудо»)

Хинтон повлиял на взгляды П.Успенского. Многие идеи Успенского, изложенные им в книге «Tertium Organum» имеют прямые отсылки к работам Хинтона.
Чарльз Хинтон несколько раз упомянут в графическом романе Алана Мура «Из Ада». Теории Хинтона относительно четвёртого измерения лежат в основе последней главы книги. Его отец, Джеймс Хинтон появляется в четвёртой и десятой главах.
Хинтон дважды упомянут в романе Алистера Кроули «Лунное дитя».

2

Алисия Буль Стотт

Чарльз Говард Хинтон
Июнь 8, 1860 - Декабрь 17, 1940

Алисия Буль – третья из пяти дочерей Мэри Эверест Буль. Несмотря на то, что Алисия не имела специального математического образования, она обладала прекрасным пространственным воображением - умела представлять четырехмерные фигуры. С семнадцатилетнего возраста и до своей смерти её область интересов принадлежала правильным и полуправильным четырёхмерным политопам. Алисия сделала несколько важных математических открытий. В частности, она построила из картона по чисто эвклидовому методу, используя лишь циркуль и линейку, трехмерные сечения всех шести регулярных четырехмерных фигур. Сделанные ею модели политопов и по сию пору можно увидеть в Кембридже.
Алисия начала заниматься математикой вместе со своей мамой. Также на неё оказал влияние математик-любитель, школьный учитель – Чарльз Хинтон, чей интерес лежал в области четырёхмерной геометрии. С 1880 по 1895 Алисия работала в одиночку, занимаясь геометрией. В 1890 году она вышла замуж за Вальтера Стотта, актуария в Ливерпуле, у них родилось двое детей. В 1895 году Алисия сотрудничает с профессором университета Гронингена, Питером Шоутом, который помог опубликовать её работы.

Чарльз Говард Хинтон
Алисия Буль и Питер Шоут

В статье 1910 года Алисия первой перечислила и описала все 45 полуправильных политопов. После смерти Шоута в 1913 году, университет Гронингена наградил Алисию почётной степенью и продемонстрировал её геометрические модели. Согласно Ирене Поло-Бланко после смерти Шоута в 1913 году Алисия прекратила свою математическую работу. Однако в 1930 году она начала сотрудничать с Гарольдом Коксетером, бывшим в то время  студентом Кембриджского университета. Совместно они исследовали особого рода четырёхмерный политоп, для которого Алисия сделала модели. Это сотрудничество продолжалось до смерти Алисии в 1940 году.

Чарльз Говард Хинтон
Верхний ряд слева направо: Маргарет Тейлор, Этель Лилиан Войнич,
Алисия Буль Стотт, Люси Буль, Мэри Э.Хинтон (жена Ч.Хинтона)

Алисия Буль Стотт и четырёхмерные политопы

Чарльз Говард Хинтон
Чарльз Говард Хинтон Чарльз Говард Хинтон
Чарльз Говард Хинтон Чарльз Говард Хинтон
Чарльз Говард Хинтон Чарльз Говард Хинтон
Чарльз Говард Хинтон Чарльз Говард Хинтон

Политоп - крайний член последовательности все усложняющихся геометрических образцов: точка - линия - многоугольник - многогранник - политоп. Само это слово придумал в 1882 году Рейнгольд Хоппе - тот самый немецкий математик, что пусть с опозданием на 180 лет, но сумел рассудить спор Ньютона и Грегори. Но в научный обиход оно вошло уже только в нашем веке благодаря Алисе Стотт, родной сестре Этель Лилиан Войнич, автора романа "Овод". Их отец Джордж Буль, известный математик, создатель целой науки - алгебры логики, сумел передать каждой из пяти дочерей часть своих разносторонних талантов. [*]

* Левитин Карл Ефимович - Геометрическая рапсодия
Biographies of Women Mathematicians

С. Большакова

3

«Флатландия» Эдвина Эбботта.

Чарльз Говард Хинтон

Бичуя пороки человеческого общества, сатирики нередко обращаются к жанру фантастики, и тогда на страницах их произведений появляются причудливые существа, вымышленные общества или даже целые миры С удивительнейшими порядками, нравами и обычаями и своими, не похожими на земные, законами природы. Известны попытки сатирического изображения общества двумерных существ, передвигающихся в плоскости. Их вряд ли можно назвать литературными шедеврами, но с математической точки зрения они довольно любопытны и забавны.

Я имею в виду в первую очередь книгу "Флатландия", которая получила наибольшую известность. Она вышла в свет еще в 1884 году. Ее автором был лондонский священник Эдвин Эбботт. «Флатландия» не единственное произведение, написанное Эбботтом. Будучи директором школы, он создал также немало учебников. На титульном листе первого издания «Флатландии» был псевдоним А. Square[1]. Повествование действительно велось от лица некоего квадрата! Единственный глаз рассказчика был расположен в одной из его четырех вершин. (О том, как рассказчик, не имея ног, ухитрялся передвигаться по поверхности Флатландии и как, не имея рук, смог написать книгу, автор деликатно умалчивает).

Чарльз Говард Хинтон

Флатландия Эбботта представляет собой поверхность, нечто вроде географической карты, а ее обитатели — флатландцы — скользят по ней, как по льду. Тела флатландцев по краям светятся, а высота их, или протяженность вдоль третьего измерения — вертикали, бесконечно мала. Сами флатландцы об этом даже не подозревают, поскольку лишены способности воспринимать третье измерение. Общество Флатландии строжайшим образом разделено на ступени. Низшую ступень общественной лестницы занимают женщины. Флатландские женщины очень похожи на иголку: это обыкновенные отрезки прямых со светящимся глазом на одном конце. Поскольку на противоположном конце отрезка никакого свечения нет, женщина, повернувшись «спиной», сразу становится невидимой. Если какой-нибудь флатландец мужчина случайно наткнется на острую «спину» флатландки, то такое столкновение может оказаться для него роковым. Во избежание несчастных случаев закон обязывает всех женщин непрерывно совершать концом отрезка, противоположным глазу, волнообразные движения, чтобы их всегда было видно. У тех дам, чьи мужья принадлежат к высшему обществу, волнообразные движения «ритмичны» и «приятны для глаза». Женщины попроще, тщетно пытаясь подражать великосветским дамам, обычно добиваются лишь «утомительно однообразных движений наподобие колебаний маятника».

Чарльз Говард Хинтон
Одноглазые флатландцы, занимающие различное общественное положение
(от низшей ступени до высшей).

Флатландские солдаты и рабочие представляют собой равнобедренные треугольники с очень короткими основаниями и острыми углами при вершинах. Равносторонние треугольники составляют средние слои населения. Флатландцы, владеющие какой-либо специальностью, имеют вид квадратов и пятиугольников. Высшие слои общества начинаются с шестиугольников. По мере продвижения вверх по общественной лестнице число сторон многоугольника увеличивается до тех пор, пока многоугольник не превратится в окружность. Окружности находятся на самой вершине иерархической лестницы и играют роль управляющих и жрецов Флатландии.
Рассказчик — некий квадрат — попадает во сне в одномерную страну Лайнландию[2], короля которой ему так и не удалось убедить в существовании двумерного пространства. Затем квадрат знакомится с шаром — пришельцем из Спейсландии[3], который пытается помочь квадрату проникнуть в тайны трехмерного пространства. Поднявшись с помощью шара над родной Флатландией, квадрат получает возможность заглянуть внутрь своего дома, выстроенного в форме правильного пятиугольника. Вернувшись во Флатландию, квадрат начинает проповедовать учение о трехмерном пространстве, но его принимают за сумасшедшего и за высказанные им взгляды бросают в тюрьму. Так кончается эта книга.
Шару удалось пробраться во Флатландию благодаря тому, что он очень медленно продавливался сквозь плоскость до тех пор, пока в сечении не получилась фигура, имеющая максимальную площадь. Легко понять, что эта фигура представляла собой окружность с радиусом, равным радиусу шара. Предположим, что вместо шара во Флатландию проник куб. Чему равна максимальная площадь сечения единичного куба плоскостью? Пересекая плоскость, куб, разумеется, может как угодно поворачиваться.
Роман Чарлза Ховарда Хинтона «Эпизод из жизни Флатландии», вышедший в Лондоне в 1907 году, отличается от книги Эбботта значительно большей претенциозностью и большим объемом (около 200 страниц).
Флатландия Хинтона, которую сам автор назвал Астрией, задумана более остроумно, чем страна Эбботта. Хинтон не позволяет жителям Астрии разгуливать
по плоскости где попало; вместо этого он расставляет своих героев, если так можно сказать, вертикально, вдоль всей длины огромной окружности. Разложив на столе монетки и подвигав их относительно друг друга, вы без труда представите, как вокруг плоского солнца вращаются плоские круглые планеты.
В плоском мире действует точно такая же гравитация, как и у нас, только сила, с которой взаимодействуют два тела на плоскости, обратно пропорциональна расстоянию между ними, а не квадрату этого расстояния, как в трехмерном пространстве.

Чарльз Говард Хинтон
Двумерная планета Астрия, созданная воображением Чарлза Г. Хинтона

Планета Астрия изображена на рисунке. Направление её вращения, указанное стрелкой, называется востоком, а противоположное ему — западом. Севера и юга нет, существуют лишь верх и низ. Тела астрийцев устроены очень сложно, и, чтобы не вдаваться в анатомические подробности, Хинтон изображает жителей своей планеты в виде прямоугольных треугольников. Все астрийцы, как и флатландцы, одноглазы. (По-видимому, ни одному из авторов не пришло в голову, что двумерные существа могли бы смотреть на мир двумя глазами, но с одномерной сетчаткой). В отличие от жителей Флатландии у астрийцев есть руки и ноги. Когда встречаются два астрийца, разойтись им непросто: одному приходится перелезать через другого (подобно тому, как расходятся канатоходцы).
В Астрии все женщины появляются на свет с лицом, обращенным на восток, а все мужчины — с лицом, обращенным на запад. Так они и живут до самой смерти, ибо ясно, что они не могут «повернуться» н превратиться в свое зеркальное отражение. Если астриец захочет увидеть, что происходит у него за спиной, ему придется либо перегнуться Назад и встать на голову, либо воспользоваться зеркалом. Последнее, безусловно, удобнее, поэтому в астрииских домах полно зеркал. Чтобы поцеловать собственного сына, отец должен перевернуть мальчишку вниз головой.
Обитаемую часть Астрии сначала поделили между собой цивилизованные унэйцы, жившие на востоке, и варварские племена сцинтиан, населявших западную область планеты. На войне у сцинтиан было одно огромное преимущество: сцинтианские мужчины могли атаковать унэйцев сзади, в то время как унэйцам оставалось лишь обороняться, повернувшись к противнику спиной. Используя это преимущество, сцинтианские племена гнали унэйцев на восток до тех пор, пока не вытеснили их на узкую территорию по берегам Белого моря.
Только развитие науки спасло унэйцев от полного вымирания. Наблюдая затмение и другие явления природы, их астрономы пришли к выводу, что они живут на круглой планете. Изучение отливов и приливов в Белом море дало унэйским ученым основание утверждать, что на диаметрально противоположной стороне планеты тоже должен существовать континент. Небольшой отряд унэйцев переправился через Белое море и в течение ста лет шел по этому континенту, преодолевая огромные трудности. Если на пути встречалось дерево, путникам приходилось либо влезать на него и затем спускаться вниз, либо спиливать это дерево под корень. Сыновья и дочери исследователей, выдержав все испытания, построили новые корабли и переправились через Черное море. Захваченные врасплох сцинтиане были мгновенно разбиты, потому что на этот раз удар с тыла нанесли унэйцы! Затем было учреждено Всемирное правительство, и на планете наступил мир. Изложенные события представляют собой лишь фон, на котором развертывается действие романа.
Я не буду утомлять читателя подробным пересказом сюжета двумерной мелодрамы. Она написана в лучших традициях ранних утопических романов, в которых бичуются пороки плутократии и превозносятся достоинства справедливого общественного устройства. В книге описывается довольно скучная любовная история, героями которой являются Лаура Картрайт, прекрасная дочь богатого и влиятельного государственного секретаря, и ее очаровательный (с точки зрения плоского наблюдателя) поклонник по имени Гарольд Уолл, выходец из рабочих. Роман пронизан мрачным ожиданием события, которое должно произойти в ближайшем будущем: прохождения возле Астрии другой планеты — Ардеи. Ученые Астрии подсчитали, что орбита их родной планеты в результате этого события превратится в сильно вытянутый эллипс и климат станет непригодным для жизни: то слишком жарким, то слишком холодным. Правительство Астрии разрабатывает грандиозный план строительства подземных убежищ, снабженных запасами продовольствия, для спасения представителей высших слоев астрийского общества.
К счастью, злой рок удалось одолеть с помощью математических теорий дяди Лауры — Хью Миллера, эксцентричного старого холостяка, жившего на одинокой горе. Миллер (прототипом которого, вероятно, был сам Хинтон) единственный в Астрии верил в третье измерение. В результате своих исследований он убедился в том, что все предметы обладают протяженностью, хотя и небольшой, вдоль третьей координаты и скользят по некоторой гладкой поверхности, названной им «плоским бытием». Изготовляя разные модели, Миллер развил в себе способность наглядно представлять себе трехмерные предметы и осознал, что сам он в
действительности трехмерен, хотя его телесная оболочка находится в двумерном пространстве.
    «По обеим сторонам нашего плоского бытия бесконечно глубоко и далеко простирается сама жизнь, — заявляет Миллер в своем красноречивом послании правителям Астрии,—поймите это, и вы никогда больше не сможете смотреть в голубой купол неба, не испытывая при этом ощущения какого-то чуда. Как бы далеко ни проник ваш взор в бездонные глубины неба, он всегда будет лишь скользить рядом с неведомой нам жизнью, глубоко простирающейся вдоль недоступного нашим чувствам измерения.

Чарльз Говард Хинтон
Сцена из семейной жизни астрийцев.

    Признание этих фактов пробуждает в нас нечто, напоминающее давно забытое чувство благоговейного преклонения перед небесами, ибо мы знаем, что созвездия не заполняют Вселенную бесконечным повторением одной и той же картины. Нет! Мы вправе ожидать внезапного и чудесного появления неизвестных доселе существ, о которых столько мечтали в старину. Если бы только мы могли знать, что кроется по ту сторону видимого!».
Если бы существовал механический способ, позволяющий дотронуться или прикрепиться к поверхности «плоского бытия», то траекторию Астрии можно было бы изменить так, чтобы полностью исключить влияние приближающейся планеты. Но такого способа нет, и Миллер решает использовать свое открытие: третье измерение своей личности. Трехмерный человек, рассуждает он, должен обладать способностью влиять на «плоское бытие». Миллер предлагает всему населению Астрии заняться тем, что в наши дни принято называть телекинезом (термин парапсихологии, означающий способность мысленно заставлять любые предметы изменять направление своего движения). Предложенный Миллером план был успешно осуществлен.
Объединив свои телекинетические способности, жители Астрии изменили ее орбиту и таким образом предотвратили катастрофу. Астрийская наука, вооруженная новыми представлениями о трехмерном пространстве, совершила огромный скачок вперед.
Интересно поразмыслить над физикой двумерного пространства и над тем, какие простые механические приспособления можно изготовить в плоском мире. В другом своем произведении Хинтон пишет (имеется в виду его рассказ «Плоский мир»), что в астрийских домах одновременно можно открыть не более одного окна или двери. Если открыт парадный ход, то все окна и черный ход должны быть закрыты, иначе дом разрушится.
В двумерном мире не могут существовать никакие трубы, тоннели и даже курительные трубки: их концы нельзя соединить между собой не перекрывая при этом внутреннего отверстия. На плоскости вам не удастся завязать узел, однако вы сможете использовать разного рода крюки, рычаги, муфты, клещи и маятники, клинья и наклонные плоскости. О том, чтобы использовать колеса с осями, не может быть и речи. Грубую зубчатую передачу можно было бы сконструировать, заключив каждую шестерню в ободок с прорезью для зубьев, находящихся в зацеплении. Можно придумать, как грести на астрийской лодке; астрийские самолеты должны махать крыльями, как птицы. Плоские рыбы с плавниками специальной формы плавали бы в астрийских реках и морях. Астрийский ликер можно было бы держать в бутылках и разливать в рюмки, но в нем, несомненно, явственно ощущался бы специфический привкус плоскости.
Тяжести можно было бы перевозить с места на место, подкладывая под них окружности в точности так же, как мы перевозим тяжелые трехмерные предметы, подкладывая под них цилиндрические катки. Астрийский метод перевозки тяжестей лежит в основе замечательной головоломки, которую мне недавно прислал один из читателей. На рисунке изображена груженая астрийская тележка длиной в тридцать футов, которая может перемещаться вдоль прямой на трех катках, имеющих форму окружности. Расстояние между центрами двух соседних окружностей всегда равно десяти футам. Как только тележка оказывается в положении, показанном на рисунке, астриец, подталкивающий ее сзади, берет заднюю (освободившуюся) окружность и передает ее своему помощнику, идущему перед тележкой. Тот подкладывает окружность под тележку (см. окружность, показанную на рисунке пунктиром). Затем тележку снова толкают вперед вдоль прямой, по которой катятся три окружности. Как только тележка съедет с задней окружности, ту снова переставляют вперед. Так повторяется до тех пор, пока груз не прибудет к месту назначения. На рисунке тележка едет направо. Впереди тележки, ровно в пятидесяти футах от точки касания пунктирной окружности и прямой, находится астрийский червяк. Предположим, что он никуда не уползет. Сколько окружностей переедет через него?

Чарльз Говард Хинтон
Сколько колес переедет червяка?

Читателю рекомендуется сначала попытаться решить задачу в уме. Затем, взяв бумагу и карандаш, проверьте полученный ответ и, наконец, сравните его с ответом, приведенным в конце главы. Те, кому этой задачи покажется мало, могут попробовать обобщить ее для n колес, равноудаленных друг от друга. Как ни странно, размеры колес знать совсем не обязательно.
Говоря о трудностях «двумерного бытия», я заметил, что на плоскости не могут существовать тоннели, однако оказалось, что это не совсем так. Один из читателей сообразил, что крыша флатландского тоннеля может опираться на несколько дверей, подвешенных за верх на петлях. Идя по такому тоннелю, флатландец должен был бы каждый раз открывать по одной двери, а все остальные двери в это время поддерживали бы крышу. Правда, понадобился бы специальный механизм для того, чтобы все двери не могли открыться одновременно.
«Четвертое измерение» — так называется двенадцатая глава книги Флетчера Дюрелла «Математические приключения»[5], в которой приводятся некоторые забавные рассуждения о жителях Тинландии[6]— страны, во многом напоминающей Флатландию. Наличие двух глаз (одного на лбу, второго на подбородке) обеспечивает тинландцам бинокулярное зрение. Благодаря длинной шее они могут откидывать голову назад и видеть, что происходит у них за спиной. Когда женщине и мужчине надо при встрече обойти друг друга, мужчина обязан лечь на землю, чтобы женщина могла через него переступить. Помимо чисто механических трудностей жизни на плоскости, нельзя не сказать несколько слов и о тех. трудностях, которые поджидают всякого, кто вознамерится воссоздать устройство мозга жителей Тинландии. Эти трудности обусловлены топологическими особенностями расположения кривых на плоскости. Как известно, мозг (обычного, «трехмерного») животного представляет собой фантастически сложное переплетение нервных волокон в трехмерном пространстве. Воспроизвести нервную сеть на плоскости без самопересечений невозможно. Однако эта трудность не столь уж непреодолима, как может показаться на первый взгляд. Электрические импульсы вполне могут распространяться и по сети с самопересечениями, не сворачивая, так сказать, за угол на перекрестках.
О жене Буля, пяти его дочерях и их замечательных потомках рассказывается в статье Н. Гриджмэна «Похвала Булю»[7]. Мэри, жена Буля, в течение шестидесяти лет после смерти мужа «непрестанно писала о методах Буля и проповедовала их во многих областях науки, в том числе в теологии и этике, — пишет Гриджмэн. — Она была почти всецело поглощена мистикой алгебраической символики и размышлениями над ролью, которую играют в математике нуль и единица. В 1909 году Мэри Буль выпустила в свет книгу под названием «Философия и занимательное в алгебре», в которой настоятельно рекомендовала «тем, кто хочет... установить правильные взаимоотношения с Неизвестным», создавать на основе булевых методов свои собственные алгебры.
Говард Эверест Хинтон, внук Чарлза Хинтона и Мэри, старшей дочери Буля, стал известным британским энтомологом. Внучка Джоан стала физиком. Джеффри Тэйлор, сын Маргарет, второй дочери Буля, стал известным математиком и работает в Кембридже. О третьей дочери, Алисии, уже вкратце рассказывалось. Люси, четвертая дочь Буля, сейчас профессор химии в Королевском свободном госпитале в Лондоне. Самая младшая дочь Буля, Этель Лилиан, вышла замуж за польского ученого-эмигранта Вильфрида Войнича. В юности она написала роман «Овод». После первой мировой войны семья Войнич переехала из Лондона в Манхэттен. В 1960 году Этель скончалась на девяносто шестом году жизни.

1 А square (англ.) — некий квадрат. - Прим. перев.
2 line (англ.) — линия. Лайнландия — страна, имеющая лишь одно измерение. — Прим. перев.
3 sрасе (англ.}—пространство. Спейсландия — страна, имеющая три измерения. — Прим. перев.
4 H.S.M. Coxeter, "Regular Polytopes", N.Y.„ 1948, рр. 258— 259.
5 F. Durell, Mathematical Adventures, Boston, 1938.
6 Тhin (англ.) — тонкий.
7 New Scientist, №420, December 3, 1964, рр. 655—657.

Мартин Гарднер

4

Foxes написал(а):

Низшую ступень общественной лестницы занимают женщины. Флатландские женщины очень похожи на иголку: это обыкновенные отрезки прямых со светящимся глазом на одном конце. Поскольку на противоположном конце отрезка никакого свечения нет, женщина, повернувшись «спиной», сразу становится невидимой. Если какой-нибудь флатландец мужчина случайно наткнется на острую «спину» флатландки, то такое столкновение может оказаться для него роковым. Во избежание несчастных случаев закон обязывает всех женщин непрерывно совершать концом отрезка, противоположным глазу, волнообразные движения, чтобы их всегда было видно.


Сложная тема, да...

Почему-то у Иванки такие ассоциации при прочтении возникли:

Чарльз Говард Хинтон Чарльз Говард Хинтон

но при чём тут женщины? если только флатландские, конечно...

Математик из Иванки бедовый, но смею предположить, что это как-то связано с 0 и 1 .
Если это ОНО САМОЕ, тогда можно добавить ЕдиНиЧку, и в Чарльз Говард Хинтон с Эбботтом сыграть.

А вообще титул АББАТ на ХАБАТ(д) и ХОБОТ похоже  Чарльз Говард Хинтон

Сва,

:crazy: - это "флатландская женщина", собственной ПАРСУНОЙ, хи-хи.

Отредактировано Иванка (2013-11-24 16:17:07)

5

Не нашла в форумских дебрях разбор сказки о Царевне-лягушке, поэтому пишу здесь:

"Смерть Кощеева на конце иглы, та игла в яйце, то яйцо в утке, та утка в зайце, тот заяц в сундуке, а сундук тот стоит на высоком дубу, и то дерево Кощей как свой глаз бережёт".

Можно добавить, что сундук на цепях, Дуб стоит на острову, а остров тот в море-окияне. Если считать вместе с КОНЦОМ ИГЛЫ, то всего 9 измерений получается, одно в другом упакованные, МАТР-ЁЖКА.

Отредактировано Иванка (2013-11-24 16:32:10)

6

Иванка написал(а):

Сложная тема, да...


Да. Меня больше интересует зачем нужно было использовать геометрические фигуры и высшие измерения для сатиры существующего строя.

7

Иванка написал(а):

разбор сказки о Царевне-лягушке


здесь Царевна-лягушка

Foxes написал(а):

зачем нужно было использовать геометрические фигуры и высшие измерения для сатиры существующего строя


Как думаешь, Сва, зачем?

8

Иванка написал(а):

Как думаешь, Сва, зачем?


Не знаю, знала бы - написала. Но видимо не один автор воспользовался таким приёмом.

9

Foxes написал(а):

видимо не один автор воспользовался таким приёмом.


Видимо, посвящённым треба поделиться знаниями трошки (зуд такой внутренний), ну и заодно побичевать пороки, дабы самому возвыситься над стадом плосколобых. У самого-то Эббота вона лоб какой высокий, выпуклый, да и "хобот" приличный... А взгляд - ух! Бодрит, как 30-градусный мороз, ажно до костей пробирает! А мочки ушей - мама дорогая, он ведь из длинноухих!

Священников хлебом не корми, а дай побичевать.  Ты права, Эббот не одинок. Дж. Свифт тоже священником был. А как он бичевал ЙЕХУ, ненавистный ему концентрат исконной человеческой породы, не облагороженной духовностью! Видимо, столько грехов отпустил, столько всякого наслушался во время исповедей грешников, что отравился...

А знания присутствовали у Свифта, спорить не станешь, и он ими малёхо поделился.

Всё-то они знают, святые отцы. И на слабые места (женщин, в частности) умеют нажимать. Собственные сперматозоидные (СПОРО-МАТО-ЗУДные) хвосты женщинам из Флатландии  присовокупил этот жёноненавистник Эббот и сидит себе, довольный такой папик, с цепочкою золотою от часиков в кармашке... времечко отслеживает, нда...

Вот откуда у святых отцов ЗНАНИЯ, спрашивается? Не от исповедей ли тех самых йеху женского роду-племени? А то мы не знаем, как святых папиков от чистосердечных женских признаний колбасит, до дрожи со смертной испариной... А доверчивые дурЙЁХИ всё идут и идут на из-по-ВЕДЬ, всё дают и дают папикам из первых рук...

ЖЕНЩИНЫ, СТОП! ДОВОЛЬНО! Держите свои тайны при себе!

А ещё знания по наследству передаются. Каста левитов, она и в Африке каста.

Отредактировано Иванка (2013-11-25 09:51:45)

10

Эта статья была опубликована в британском журнале "Interdisciplinary Science Reviews" в 1990 году:

От «Флатландии» до гиперграфики: взаимодействие с высшими измерениями.

Томас Ф. Банчофф
Department of Mathematics, Brown University, Providence, Rhode Island, USA

Чарльз Говард Хинтон

«Флатландии» более чем сто лет, переизданная в пяти новых английских издательствах за прошедшие шесть лет и переведённая на восемь иностранных языков, никогда она не была столь популярна, как теперь,  Как и раньше, большая часть её социальной сатиры всё ещё современна, но только теперь с развитием компьютерной графики мы можем оценить наблюдения явлений высших измерений, которые так сбили с толку двухмерного главного героя небольшого шедевра Эдвина Эббота Эббота. В этом обзоре мы попробуем ответить на вопросы: кем был автор книги и как он пришёл к её написанию.
Чуть больше чем сто лет назад директор школы написал тоненькую книгу, которая явилась сатирой на ограниченность социальной перспективы викторианской Англии и введением в геометрию высших измерений. Эта книга, под названием «Флатландия» несколько раз была на волне популярности, включая и настоящий момент, когда пять новых переизданий, появилось через столько же лет, и когда несколько авторов написали новые книги, вдохновлённые «Флатландией». Можно задать вопрос, почему книга пользовалась популярностью больше столетия, и почему к рассказу о четвёртом и выше измерениях обращаются и сегодня. Ответ находится во взаимодействии с высшими измерениями.
Эдвин Эббот Эббот не был первым человеком, определившим двумерную вселенную, населённую плоскими существами, но он был первым, кто попытался исследовать, как отразится на людях взаимодействие с измерениями выше, чем их собственные. Сегодня развитие компьютерной графики позволяет нам встретиться лицом к лицу с такими многомерными явлениями, но в наших исследованиях мы часто очень плохо вооружены, чтобы понять их, как и «Квадрат» - двухмерный главный герой «Флатландии»- сто лет назад.
Как «Флатландия» появилась на свет? Её автор - Эдвин Эббот Эббот – родившийся сто пятьдесят два года назад, был продуктивен. За пятьдесят лет им было написано более сорока пяти книг, но он не был математиком. За исключением короткого пассажа по геометрии в книге для наставников, гувернанток и родителей под названием «Hints on Home Teaching», он больше ничего не написал о математике помимо «Флатландии», этого почти безупречного введения в метод аналогии в применении к различным измерениям. Это что-то вроде экстраординарного явления для любого, даже образованного учителя викторианской школы: написать книгу, говоря о геометрии, не допустив ошибок и не опускаясь до полной ерунды. Эбботу удалось избежать этих ловушек, даже, несмотря на то, что его образование принадлежало области классики, богословия и истории. Где Эббот почерпнул идею использовать аналогию измерений в качестве сатиры? Как он развил эту идею, не совершив ошибок? И как эта идея согласуется с остальной частью творчества Эббота?
Трудно суммировать работу жизни человека настолько широко, как сделал это Эббот. Но появляется одна тема, которая объединяет его усилия. Он, прежде всего, был заинтересован чудесами и иллюзиями. Мы не можем познать Трансцендентное непосредственно, и если мы действительно, когда-либо почувствуем отблески этой сферы, то будем не состоянии ясно передать суть о нашей способности проникновения в неё. Всё же мы должны попробовать это сделать, имея в распоряжении все несовершенные средства сообщения, даже рискуя быть непонятыми, отвергнутыми и преследуемыми. Это основной урок Евангелий, а Эббот был богословом, заботившимся о способе, которым были получены Евангелия в его время.
Мы не можем утверждать с полной уверенностью, но мы можем идентифицировать несколько возможных источников первой встречи Эббота с идеями многомерности. И мы можем, конечно, установить явную связь с другим викторианским писателем – Чарльзом Говардом Хинтоном.

Фон для размерной аналогии

Прежде, чем установить связь между этими двумя людьми, уместно будет подготовить почву для развития аналогий измерений. До середины 19-ого столетия в Англии или где-либо ещё о природе четвёртого измерения и выше, было известно немного. Однако большой и научный и псевдонаучный интерес присутствовал, прежде всего, в Англии и Германии. Несколько писателей признали фундаментальную роль аналогии, ставшей основанием их интереса, так же, как мы поднимаемся от геометрии плоскости к стереометрии, возможно рассмотреть предмет вне стереометрии. Чтобы оценить трудность понимания таких более высоких конфигураций, полезно вообразить ситуацию существа из более низкого измерения, пытающего достигнуть соглашения с третьим измерением. Это мысленное осуществление захватило воображение многих авторов.

Фехнер, Платон и тень фигур

Первым человеком, который разовьёт аналогию измерений в 19-ом столетии, станет психолог и физиолог Густав Теодор Фехнер в Лейпциге. Он написал небольшую работу под названием «Space has Four Dimensions», как часть своего труда «Vier Paradoxe», изданного в 1846 году под псевдонимом «доктор Мизес». Двухмерное существо Фехнера было тенью человека, спроецированной на вертикальный экран матовым проектором. Оно могло взаимодействовать с другими тенями, но, базируясь на своём ограниченном опыте, оно не могло воспринимать направление перпендикулярное его экрану ((screen) – английское слово «скрин» или «скриншот» хорошо известно всем компьютерным пользователям и означает изображение, полученное компьютером и показывающее в точности то, что видит пользователь на экране монитора или другого визуального устройства вывода – прим. перевод.)) Фехнер предполагал, что для такого существа – время было бы третьим измерением, выражая движение его целого изображения (скрина) в направлении, которое он не может постигнуть пространственно. Идея рассмотрения фигур-теней возникла намного раньше, и восходит к мифу Платона о Пещере («Государство», книга 7 в сокращении. Диалог между Сократом и Главконом)

Вставка: отрывок из диалога Платона.

« ... посмотри-ка: ведь люди как бы находятся в подземном жилище наподобие пещеры, где во всю ее длину тянется широкий просвет. С малых лет у них там на ногах и на шее оковы, так что людям не двинуться с места, и видят они только то, что у них прямо перед глазами, ибо повернуть голову они не могут из-за этих оков. Люди обращены спиной к свету, исходящему от огня, который горит далеко в вышине, а между огнем и узниками проходит верхняя дорога, огражденная... невысокой стеной вроде той ширмы, за которой фокусники помещают своих помощников, когда поверх ширмы показывают кукол.
... за этой стеной другие люди несут различную утварь, держа ее так, что она видна поверх стены; проносят они и статуи, и всяческие изображения живых существ, сделанные из камня и дерева. При этом, как водится, одни из несущих разговаривают, другие молчат.
— Странный ты рисуешь образ и странных узников!
— Подобных нам. Прежде всего, разве ты думаешь, что, находясь в таком положении, люди что-нибудь видят, свое ли или чужое, кроме теней, отбрасываемых огнем на расположенную перед ними стену пещеры?» 

Тени это просто представления объектов, рассматриваемые трёхмерными наблюдателями, искусственно ограниченными только этими низкоразмерными убеждениями. Платон не предлагает способности взаимодействия теней друг с другом, и это сердце проницательности Фехнера.

Гельмгольц и неевклидова геометрия

История Фехнера о двухмерном человеке была переиздана под заглавием «Kleine Schriften» в 1875 году, а его идеи упомянуты в британском журнале «Mind» в 1876 году, когда J. M. P. Land ответил на статью коллеги Фихнера - Германа Людвига Фердинанда фон Гельмгольца. В середине 19-ого столетия обнаружился огромный интерес к неевклидовой геометрии, Гельмгольц писал об этом, используя сложность работы воображения двухмерного существа, вынужденного продвигаться вдоль неких мраморных поверхностей, пытаясь придти к познанию внутренней геометрии его миров без преимущества трёхмерной перспективы, которая могла бы выявить сразу все её свойства искривления. Английская версия его работы появилась в «Академии» уже в 1870 году, а полная статья была опубликована в «Mind» под заголовком «Аксиомы Геометрии».

Гаусс, Риман и внутренняя геометрия

Интерес к внутренней геометрии поверхностей прослеживается в работе Гаусса под названием «Treatise on the Geometry of Curved Surfaces».Его практический интерес к геодезии привёл к признанию эффекта кривизны в геометрии, например в определении суммы углов треугольника растянутого самыми короткими линиями на сфере или нерегулярной поверхности. Эти идеи были развиты в 1854 году в диссертации Бернхарда Римана «The Hypotheses Which Underlie Geometry», где были представлены внутренние измерения в абстрактных пространствах любого числа измерений, не требующие ссылок на содержащие пространства высшие измерения, в которых материальные объекты должны быть «изогнуты».
Все эти идеи были знакомы английским математикам, и приобрели популярность, благодаря усилиям Гельмгольца и британского учёного Джона Тиндаля, который встретил Гельмгольца в Германии в 1854 году. (Это могло быть простым совпадением, но Эдвин Эббот Эббот был приглашён на чай в дом Джордж Элиот и Чарльза Льюиса в 1871 году в тот же день, когда у них обедал Тиндаль. Льюис сам очень сильно интересовался интерпретациями Канта относительно геометрии высших измерений, что подтверждается перепиской, возникшей после выступления Дж.Л. Сильвестера под названием «A Plea for the Mathematician», где он превозносил силу распространения геометрических, а также алгебраических идей высших измерений.)

Чарльз Говард Хинтон
Рисунок Эббота. Дом Квадрата, который резюмирует социальную структуру Флатландии. Жена и дочери Квадрата нарисованы как одна линия, и по возрастанию социального положения: слуги, дворецкий, лакей и паж – треугольники. Владелец – Квадрат, и поскольку каждое будущее поколение добавляет ещё один угол, сыновья Квадрата – четыре пятиугольника и его двое внуков – шестиугольники. Входные двери в дом имеют соответствующую ширину для обоих полов.

Цёлльнер и спиритуалисты

Однако, самый большой интерес к четвёртому измерению выказывали не учёные и математики, а спиритуалисты, желающие выразить свои собственные теории. Американский медиум (и фокусник) Генри Слейд стал знаменитым после изгнания из Англии из-за мошенничества, связанного с духом, пишущим на грифельных досках. Поэтому  упоминание Слейда в качестве основного доказательства в псевдо-научных работах другого коллеги Фихнера и Гельмгольца в Лейпциге -  астронома Иоганна Карла Фридриха Цёлльнера – подверглось огромному скептицизму. В отличие от Фихнера и Гельмгольца, обладавших неким подобием уважения, Цёлльнер был полностью дискредитирован из-за своей связи со спиритизмом. Он совершенно верно понял, что любой человек, имеющий доступ к высшим измерениям сможет исполнить вещи, недоступные тем, кто ограничен только тремя измерениями. Цёлльнер предложил несколько экспериментов, которые демонстрировали его гипотезу.

Вставка из книги Мартина Гарднера «Этот правый левый мир»:

- А что вы скажете насчет некоторых медиумов, выступающих с так называемыми демонстрациями четвертого измерения? - поинтересовался я. - Не о них ли написал книгу один профессор астрофизики из Лейпцига?
В смехе Слейда послышались нотки замешательства.

Чарльз Говард Хинтон
Рис. 64. Неужели эту кожаную полоску можно заплести лишь в четырехмерном пространстве?

- Вы правы, это действительно сделал бедняга Иоанн Карл Фридрих Цельнер. Его книга "Потусторонняя физика" была переведена на английский язык в 1881 году, но сейчас даже перевод стал огромной редкостью. Цельнеру принадлежат интересные исследования в области спектрального анализа, но он считал ниже своего достоинства пользоваться методами фокусников, и в результате, по-видимому, попался на удочку американского медиума Генри Слейда.
- Слейда? - удивился я.
- Да, стыдно признаться, но мы с ним родственники. Он был моим двоюродным дедушкой. После его смерти осталось с дюжину толстых тетрадей, в которые он заносил свои методы. Эти тетради перешли по наследству к членам моей семьи с английской стороны, а потом были переданы мне.
- Невероятно интересно, - сказал я. - Не могли бы вы показать мне какой-нибудь фокус?
Моя просьба Слейду понравилась. Фокусы оказались одним из его хобби. Кроме того, Слейд считал, что некоторые фокусы Генри могут заинтересовать читателей с точки зрения математики.
Слейд достал из ящика письменного стола полоску кожи с двумя продольными разрезами, как показано на рис. 64 слева. Затем, протянув мне шариковую ручку, попросил как-нибудь пометить эту полоску, чтобы по ходу фокуса ее нельзя было подменить. Я поставил в углу полоски свои инициалы. Мы уселись за маленький стол друг против друга. Слейд несколько секунд подержал полоску под столом и затем показал мне ее снова. Узкие ленточки оказались переплетенными, как показано на рис. 64 справа! Подобное переплетение может получиться лишь в том случае, если ухитриться протащить все три ленточки через гиперпространство, в пространстве же трех измерении задача показалась мне невыполнимой.

Чарльз Говард Хинтон
Рис. 65. Можно ли завязать узел на резиновой ленте, не выходя в четырехмерное пространство?

Второй фокус был еще удивительнее. Слейд предложил мне внимательно рассмотреть широкое кольцо, вырезанное из мягкой резины (рис. 65). Затем он положил кольцо в спичечную коробку, торцы которой запечатал клейкой лентой. Слейд хотел было спрятать коробку под стол, но вдруг спохватился, что она никак не помечена. Я написал на этикетке жирную букву X.
- Хотите - держите ее сами под столом,- предложил Слейд.
Я согласился. Слейд нащупал под столом коробку и, взялся за нее с другой стороны. Послышался шорох, и я почувствовал, будто коробка немного задрожала.
Слейд разжал руки.
- Теперь откройте, пожалуйста, коробку. Вначале я ее очень внимательно осмотрел. Клейкая лента была на месте. На этикетке стояла моя пометка. Отковырнув ногтем клейкую ленту, я открыл коробку. Резиновая лента была завязана простым узлом, изображенным в правой части рис. 65.
- Даже если вы каким-то образом ухитрились открыть коробку и подменить кольцо, - сказал я, - то где вы раздобыли такую удивительную резинку?
- Мой дядя был искусным мошенником, - усмехнулся Слейд.
Мне было неудобно спрашивать Слейда о том, как делаются оба фокуса. Прежде чем заглянуть в ответ, попробуйте сообразить сами.
В тот день мы о многом говорили со Слейдом. Когда, наконец, я вышел из церкви Четвертого Измерения, сырые улицы Лондона окутал густой туман. Я опять почувствовал себя в Платоновой пещере. Расплывчатые силуэты движущихся машин с эллиптическими светящимися фарами напомнили мне известные строки из Рубайята великого Омара Хайяма:

"Что все мы? Лишь блуждающие тени,
Подвластные любому мановенью
Волшебного светильника в руках
Великого Властителя движенья".

Книга Цёлльнера «Потусторонняя физика» широко обсуждалась в прессе, а также некоторыми серьёзными учёными.

Эббот, иллюзии и чудеса

Эббот, конечно, знал обо всех этих идеях, хотя и не проявлял интереса к ним. Однако они, должно быть, представляли для него некоторое очарование, поскольку заставили его посмотреть другим взглядом на отношение между иллюзией и чудом. Если то, что мы чувствуем, как удивительный случай вопреки естественному положению вещей, позже проявляется как довольно естественное явление некоторой действительности, ранее не признаваемой, мы должны полностью переоценить ситуацию в свете нового знания. То, что раньше казалось нам противоречащим и не достойным внимания, принимается теперь с учётом новых фактов, которые могут быть выверены при помощи большей совокупности знаний. Из этого нужно вынести один урок – мы не должны зависеть от чудес, или от спиритизма или от религии, как оснований для наших верований.

Гарнетт, Максвелл и физика

Следующая связующая нить между Эбботом и научными кругами возникла, благодаря  одному его студенту – Уильяму Гарнетту (William Garnett), который был первым в математике в Школе лондонского Сити для мальчиков в том же году, что и  H. H. Asquith, будущий премьер министр, стал первым в классике. Гарнетт поступил в Тринити-колледж в Кембридже и стал главным ассистентом выдающегося физика Джеймса Клерка Ма́ксвелла. Гарнетт вместе с Льюсом Кэмпбеллом работал над биографией Максвелла. В книге показан интерес Максвелла к высшим измерениям, этот интерес проступает и в его стихах, где он называл четвёртое измерение местом, где могут быть развязаны узлы:

Моя душа – сложный узел
Лёгкий кованный вихрь
Тайна развязки его в четырёхмерном пространстве

Гарнетт поддерживал связь с Эботтом на протяжении всей своей карьеры, поэтому, вероятно, что он разделил бы свои идеи с ним, как только понял, что Эббот интересовался этим видом геометрии. Гарнетт переехал в Хэмпстед, где жил Эббот после выхода на пенсию. Он поздравлял с восьмидесятилетием Эббота, и присутствовал на его похоронах в 1926 году. Неудивительно, что им было написано предисловие к «Флатландии», когда книга была опубликована в том же году Бэзилом Блэквеллом (Basil Blackwell). Он обратил внимание на стихотворение Максвелла, написанное для Cayley Portrait Fund, где описывается тщетность попыток захвата на поверхности двухмерной картины чьей-то души, «той, что в n-пространстве цвела без границ». Он также процитировал письмо в Nature шестью годами ранее, ссылаясь на Эббота, как на пророка, предвидевшего актуальность аналогии измерений для понимания течения времени относительно пространства. Это письмо было подписано «W.G.», и если мы нуждаемся в каких либо дополнительных доказательствах, что оно было написано самим Гарнеттом, мы можем указать на появление во введении к «Флатландии» необычной фразы «игра ума», используемой Гарнеттом дважды в биографии Максвелла в том же самом 1926 году.

Хинтон и Кэндлер, аппингемская связь

Был ли какой либо из этих источников особым для Эббота, узнавшего о четвёртом измерении? Независимо от первого контакта, мы можем почти наверняка обнаружить основную ассоциацию, которая привела Эббота к идее четвёртого измерения, как основанию комбинации социальной сатиры и философского учения, а именно его знакомство с работами Чарльза Говарда Хинтона.
Хинтон был на пятнадцать лет младше Эббота, получил математическое образование в Оксфорде, интересовался физикой и нетрадиционной философией, связанной с идеями его отца Джеймса Хинтона, коллегой Хэвлока Эллиса. Хинтон уже успел написать работу о четвёртом измерении в 1880 году. Издал и переиздал её в Dublin University Magazine и в Cheltenham Ladies' Gazette в 1881 году. В это время он преподавал в Челтнемском Женском Колледже, Эббот же был тесно связан с вопросами женского образования, которые привели его к знакомству с директором этой школы мисс Басс. Возможно, он натолкнулся на работу Хинтона в одной из этих публикаций. Однако, более вероятно их личное знакомство, после того, как Хинтон стал научным сотрудником в Школе Аппингэма, где математику преподавал друг всей жизни Эббота - Говард Кэндлер.
Кэндлер и Эббот познакомились ещё в школьные годы, когда оба учились в Школе лондонского Сити. Они вместе поступили в Кембридж и дружили до конца своих дней. В течение двадцати пяти лет, во время преподавания Кэндлера в Аппингеме, они переписывались каждую неделю. (Письма Кэндлера и Эббота хранились до 1939 года, их использовали в качестве письменного источника истории Школы лондонского Сити, но потом они исчезли).
Выйдя на пенсию, Кэндлер переехал в Хэмпстед, таким образом, оказавшись со своей семьей, рядом с Эбботом. Эббот постоянно консультировался с Кэндлером по поводу своих богословских трудов, это даёт уверенность, что он писал ему о геометрической части «Советов домашнего обучения». И конечно, Эббот делился свои мыслями о «Флатландии», которая посвящалась «Обитателям Пространства и в частности H.C. (Говарду Кэндлеру – прим. перевод.)». Эббот определённо идентифицирует Кэндлера как «H.C.» , кому и была посвящена Флатландия», введение к одному из томов богословия, написанному сразу после смерти Кэндлера в 1916 году, и первое издание в библиотеку Тринити колледжа, пожертвованное одним из внуков Кэндлера подписано просто «To H.C., in particular». Легко представить письма, в которых Кэндлер говорит другу об идеях нового научного их владельца, Хинтона, и их актуальности для некоторых теологических и философских понятий, которые они обсуждали. Сложно сказать, когда именно возникла идея написать социальную сатиру, но она наверняка была написана в середине 1884 года и опубликована осенью. Встречались ли когда-либо Хинтон и Эббот? Никаких абсолютных доказательств этого нет, но вероятность встречи высока, поскольку семья Эббота часто бывала в Аппингеме, где встречалась с Кэндлером, и, скорее всего Эббот знал коллег своего друга. И, конечно, Эббот знал директора школы Аппингема Эдварда Тринга, основателя Headmaster's Conference, где Эббот служил секретарём. К сожалению, Тринг был вынужден уволить Хинтона, после его признания в двоежёнстве. Кэндлер не упоминается в части дневника Тринга, посвящённой неудачной истории с Хинтоном. Хинтон уехал из Англии, и в конечном итоге оказался в Америке, где он продолжил свою работу над физикой и философией четвёртого измерения. Маловероятно, что после этого у него с Эбботом были дальнейшие контакты. Появление «Флатландии» Эббота не стало препятствием для использования такого же названия Хинтоном в его «Эпизоде из жизни Флатландии» в следующем году, и нужно задать вопрос о возможном напряжении в их отношениях, которое должно быть последовало. Однако, очевидно, что ситуация самими авторами не рассматривалась как враждебная. Обращение их друг к другу в последующих работах указывает, что они рассматривали свои усилия, как дополняющие, а не конкурирующие друг с другом.
Ключевая отсылка Эббота содержится в книге 1887 года «Ядро и шелуха» («The Kernel and the Husk»). Рассказывая о книге, он пишет: «Вы знаете или возможно могли бы знать, если бы прочитали недавно изданную книгу под названием «Флатландия», а ещё лучше, если бы вы изучили очень талантливую и оригинальную работу г-на Ч.Г. Хинтона, что существо Четвёртого Измерения, если такое там есть, может зайти в нашу закрытую комнату, не открывая дверь или окно, более того, может даже проникнуть внутрь и обитать в нашем теле…даже если бы мы могли представить Пространство Четвёртого измерения – чего мы сделать не можем, хотя, возможно, мы можем описать некоторые его явления, если оно существует – мы не должны быть лучше морально или духовно. Это кажется мне скорее высоконравственным, чем интеллектуальным процессом для приближения к концепции духа: и может направлять нас навстречу этому не знанию четырёхмерного пространства.
Со своей стороны Хинтон ответил в «Научных романах», изданных в 1888 году, включая эссе «Что такое Четвёртое измерение?» и заканчивая тремя статьями о высших измерениях. Во введении к последним работам, он пишет: «В целом я хочу отослать читателя к изобретательной работе «Флатландия». Но, листая её снова и снова, я нахожу, что автор использовал свой талант с целью, чуждой моей работе. Поскольку, очевидно, что условия физики жизни на плоскости не были его главным объектом. Он использовал их, как место размещения своих уроков и сатиры. Но мы, прежде всего, хотим знать факты физики».
Действительно, работа Хинтона концентрируется на технологических аспектах двухмерного измерения и выше. По приезду в Соединённые Штаты, преподавая в Принстонском университете, и университете штата Миннесота, он работал в патентном бюро Вашингтона, округ Колумбия, и написал работы по физике и математике, часто используя четвёртое измерение в качестве пояснительного метода. (Современный математик А. Дьюдни со своими исследованиями двухмерных технологий является духовным наследником Хинтона и научной сферы. Философская сторона Хинтона представлена в наше время логиком и писателем Рудольфом Рукером, собравшим работы Хинтона под заглавием «Предположения о Четвёртом измерении»)

Эббот и философия

Но если Эббот не интересовался аспектами физики существования на плоскости, то каков тогда его объект исследования? Он отвечает на этот вопрос в своей книге «The Spirit on the Waters», написанной спустя почти десять лет после «Флатландии», в том числе названием этой книги на титульном листе вместе с тремя другими авторами: «Филохристус» (Philochristus: Memoirs of a Disciple of Our Lord–written in Elizabethan English, 1878), «Онисим» (Onesimus: Memoirs of a Disciple of Paul, 1882) и теологический трактат «Ядро и шелуха» (англ. The Kernel and the Husk; 1886), изначально все работы были изданы анонимно. В «The Spirit on the Waters» он рассказывает об итоговой сцене посещения Флатландии, где герой, Квадрат, сталкивается с изменением формы, произошедшей в его двумерной вселенной с приходом существа из третьего измерения. Он размышляет о возможных ответах квадрата, наиболее непосредственный из которых мог быть для поклонения этому явившемуся существу из-за его таинственных подобных Божьим полномочий. Это не так, говорит Эббот. Физическая или интеллектуальная сила, не показывает автоматически ни одного морального или духовного качества, которые мы должны требовать от любого объекта нашего обожания.
Эббот заключает:

«Эта иллюстрация четырёх измерений, предлагающая другие иллюстрации, получаемые с помощью математики, может служить двойной цели нашего настоящего исследования. С одной стороны, это может привести нас к более широким представлениям о возможных условиях и существовании; с другой стороны это может научить нас, что концепция таких возможностей не может прямым путём приближать нас к Богу. Математика может помочь нам измерить и взвесить планеты, обнаружить вещества, из которых они состоят, извлечь свет и тепло из движения воды и доминировать над материальной вселенной; но, даже если при помощи этих средств мы смогли бы дорасти до Марса или считаться жителями обратной стороны Юпитера или Сатурна, мы не будем ближе к небесному престолу, кроме той меры, в которой эти новые переживания могут развиваться в нашем смирении, уважении к фактам, глубоком почтении порядка и гармонии, и уме более открытом для новых наблюдений и выводов из старых истин».

Это последнее предложение усиливает итоговую фразу, посвященную Флатландии, уповая, что опыт освоения измерений будет способствовать «расширению воображения и возможному развитию того самого редкого и превосходного дара Смирения среди Высших Рас Человечества».

Флатландия и теологическая биллетристика

Мы определили несколько источников, из которых, возможно, Эббот узнал о понятии четвёртого измерения. Но он, вероятно, был первым, кто развил эту идею в социальные аллегории, и первым, кто рассмотрел возможность столкновения между существами разных измерений со всеми их проблемами и переживаниями. Эббот вполне осознавал ограничения, налагаемые Викторианцами на свои собственные способы мышления и знания. Он увидел самое важное сообщение, слово Христа, отвергаемое его современниками, которые были не в состоянии принять атрибуты чудес, используемые авторами Священного Писания в качестве средства для сообщения их истории. Он попытался отделить сообщение от чудесного языка, одного из самых претенциозных проектов Широкого Церковного движения.
Однажды он обратился к Джордж Элиот с просьбой принять вызов и взять на себя задачу по написанию романа, выражающего сообщение Евангелия свободного от волшебного языка. Она не сделала этого, и в конечном итоге Эббот сам закончил «Филохристуса» и «Онисима», каждый из которых рассказывает похожую историю, которая позже появится в графической форме «Флатландии». В «Филохристусе» главный герой – фарисей в начале первого века, и «Онисим» - история греческого раба в Послании Св.Павла Филемону. В каждом случае рассказчик находит себя в обществе, предоставляющим ответы на все вопросы в пределах ограниченной точки зрения. История формирует обстоятельства, не попадающие точно в рамки социальной системы, тем самым, требуя более высокого принципа объяснения. Тогда происходит столкновение с фигурой совершенно необычной, в одном случае это сам Христос, а в другом Св.Павел. Герой полностью преобразуется откровением высшего порядка, и в итоге возвращается в своё родное общество, пытаясь распространить эту хорошую новость, стоя на пороге разочарований и возможного преследования.
Легко заметить, где Флатландия вписывается в контекст пожизненного проекта Эббота. Этот один небольшой эпизод даёт ему шанс гораздо более внимательно изучить ограничения викторианского общества, его озабоченность классовым сознанием, социальным дарвинизмом, сопротивлением правам женщин или меньшинств или нонконформистов и растущего менталитета двух культур, отделяющего рациональное от интуитивного, и теоретический от практического порядка. Традиция сатиры, установленная Свифтом присутствует, атакуя некую слепоту Гулливера при встрече с Лилипутами или с которой столкнулась Алиса в другой более новой аллегории. Флатландия, тем не менее, отличается от них. Это путешествие Алисы Гулливера в Стране Чудес с точки зрения Белого Кролика. Мы не вступаем в странный мир сами. Странный мир окружает нас, и нам приходится иметь с ним дело.
Любопытно, отчего Эббот не захотел написать пьесу. Его специализацией в литературе был Шекспир и цитаты из пьес возглавляли каждую главу «Флатландии». Некоторые просто слова из пьес, но ключевой пассаж – любимый Эбботом, учитывая тему под рукой, именно «Буря»: «О brave new world! that have such people in «em.»

О, новый дивный мир,
В котором есть такие люди!

Когда мы сталкиваемся с новыми мирами, мы разделяем удивление Миранды, чтобы быть уверенными. Изо всех сил мы пытаемся сохранить порядок, который нам известен, но безуспешно, и, наконец, мы «опускаем руки» и предаёмся новому пониманию, везде, куда бы нас ни привело, зная, что наш опыт никогда не будет одинаковым снова.

Заключение

Карьера Эббота как учителя, писателя, учёного и внимательного наблюдателя своего мира, подготовила его для изучения общества и теологии, которое разорвёт связи и поможет людям реагировать по-новому. Викторианская Англия была описана в эпоху переходного периода. «Флатландия» явилась в переходное время для своего возраста и для возраста автора. Это итог более чем двадцати книг, написанных Эбботом ранее, и почва для другой половины его произведений на многие темы. До сих пор странно, что из целого множества работ, казалось бы, более значительных, часть, которая выживает и делает бессмертным Эббота, вероятно одна из наиболее любимых из написанного. Она появилась в замечательную эпоху, ключевая работа в жизни замечательного человека. Мы, кому расширили наше воображение и смирение, можем быть только благодарны.

Визуализация высших измерений сегодня

То, что предположил Эббот, и другие авторы 19-го века стало действительностью в настоящий момент. Столкновения с явлениями четвёртого измерения и выше были фабрикатом фантазии и оккультизма. Люди (кроме спиритуалистов) ожидали увидеть проявление четырёхмерных форм не больше, чем ожидали столкнуться с Лилипутами или Безумными Шляпниками. Сегодня, однако, у нас есть возможность не только наблюдать явления четвёртого измерения и выше, но также взаимодействовать с ними. Средой для такого взаимодействия служит компьютерная графика. Компьютерные графические устройства производят изображения на двумерных экранах. Каждая точка на экранах имеет два действительных числа как координаты, и компьютер сохраняет расположение точек и перечень пар точек, которые должны быть соединены отрезками или более сложными кривыми. Таким образом, на экране можно развивать и сохранять для последующего просмотра или дальнейших манипуляций схемы любой сложности.
Для использования в архитектуре или инженерном проектировании, компьютер должен закодировать информацию о точках трёхмерного пространства с каждой точкой, указанной тремя действительными числами. Компьютер тогда сможет показать любые двумерные представления об объекте, не только традиционные вид спереди, сбоку и сверху, но картинку из любой выбранной точки пространства. Техническое устройство, которое выполняет это - матрица, которая отслеживает происходящее с данным фреймом. Как только мы говорим, что что-то происходит с сегментами в наблюдаемом фрейме, позиции остальных точек определяется простым способом и проецируется на двумерный экран. Хотя мы видим только две из трёх координат, третья сохраняется в компьютере, готовом для дальнейших исследований.
В отличие от человека-оператора компьютер имеет несколько представлений о том, в каком измерении это находится. Так же легко, как он «держит» три координаты для каждой точки, он может, если правильно запрограммирован, удерживать четыре и больше координаты. Часто четвёртая координата может указать некоторые свойства точки на экране, такие как цвет или яркость. В других случаях это может представлять четвёртую пространственную координату, взаимозаменяемую с другими тремя, так же, как длиной, шириной и высотой блока можно управлять в третьем измерении. Если мы хотим работать с четырёхмерным блоком, мы должны предоставить информацию об основе с четырьмя сегментами, а не только с тремя. В то же время, мы можем завершить рисунок трёхмерного блока, поскольку знаем отображения трёх сегментов упоминаемой основы в одном углу, мы можем сделать трёхмерную модель тени четырёхмерного блока, как только нам известны положения в трёхмерном пространстве изображений четырёх сегментов в четырёхмерной основе. Мы можем пойти далее и спроектировать эту трёхмерную структуру на экран компьютера, где мы можем взаимодействовать с ним так, как мы делали это с чертежами здания или планами станка. Таким образом, мы используем весь наш опыт интерпретации двумерных изображений трёхмерных объектов, помогающих нам двигаться вперёд ещё на один шаг в интерпретации трёхмерных представлений объектов, требующих четвёртой координаты для их эффективного описания.
Но какие явления требуют такого высокого размерного анализа? Помимо естественного расширения абстрактной плоскости и стереометрии четвёртого и более высокого уровня, существует широкое практическое использование возможностей, которых мы можем достигнуть для визуализации явлений в четвёртом и выше измерении. Одним из наиболее значительных является область анализа исследовательских данных. Простую таблицу соотношений высоты и веса ряда лиц в городе, проще интерпретировать, когда данные представлены в виде диаграммы рассеяния, представляющей информацию о каждом человеке, как точку в двухмерной системе координат. Если точки имеют тенденцию группироваться в линию, то есть, тенденция может быть выражена простым линейным выражением, которое помогает предсказать факты о дальнейших данных.
Если таблица содержит три числа для каждого отдельного человека, скажем размера обуви, то диаграмма требует трёх измерений. Тенденцию можно заметить снова, если точки расположены вблизи некой конкретной линии, или некоторой плоскости. Стандартные методы статистики помогут выявить такие линейные отношения даже прежде обращения за помощью к трёхмерному измерению. Конечно, компьютер может воспроизвести такие участки, проецируя точки трёхмерного пространства в различных плоскостях для попытки найти более показательные виды.
Этот метод пригоден для гораздо более сложных явлений, где характеристики каждого отдельного человека описаны четырьмя, пятью или большим количеством переменных. Это легко себе представить на данных экономики, биологии или физики, где каждая точка данных может иметь десятки или сотни координат. Анализ исследований предоставляет человеку способ как человеку-наблюдателю для взаимодействия с такими высокоразмерными наборами данных, изучения совокупности представлений, полученных путём проецирования на двух или трёхмерные пространства. Может случиться так, что различные конфигурации данных напоминают конфигурации уже наблюдаемые при изучении изображений модели структур, не только линий и плоскостей, но и более сложных кривых и поверхностей. Наш опыт с феноменами геометрии кривых и поверхностей в трёх- и четырёхмерном пространстве предоставляет инструменты для интерпретации данных конфигураций, возникающих в результате реальных наблюдений.
Мы никогда не сможем понять структуру облака точек в четырёхмерном пространстве тем же способом, который мы принимаем для модели точек на плоскости или, пытаясь понять тонкости обычного трёхмерного пространства. Мы разделяем с Квадратом, главным героем Флатландии неспособность «видеть» в измерении выше, чем наше собственное. Но, как и Квадрат, мы можем разработать методы в ответ на представления многомерных феноменов в нашем мире. Сложная задача современной компьютерной графики прямо соответствует одной из главных целей Эдвина Эббота Эббота во введении к его вневременной книге, а именно поощрять в человечестве эту почтенную и редкую добродетель -  смирение. Мы по достоинству ценим «Флатландию» всё больше по прошествии времени.
____________________________________

Томас Ф. Банчофф – профессор математики Университета Брауна в Провиденсе, штат Род-Айленд с 1967 года. Он написал две книги и пятьдесят статей по геометрической теме, часто включающие интерактивные компьютерные графические методы для изучения явлений четвёртого измерения и выше. Томас получил степень бакалавра искусств в Университете Нотр-Дам и докторскую степень в университете Калифорнии. Беркли.
Томас Банчофф – обладатель награды Lester Ford за экспозицию, и награды Joseph Priestley от Дикинсон колледжа. Его фильмы с использованием компьютерной графики получили международные награды и были представлены на международном конгрессе математиков. На столетие «Флатландии» в 1984 году Банчофф представил лекцию в Школе лондонского Сити (с 1865 по 1889 год директором школы был Эдвин Эббот Эббот – прим. перев.) и организовал трёхдневную конференцию в Университете Брауна, чтобы отметить вклад Эдвина Эббота Эббота, и развитие визуализации высших измерений за последнее столетие.

Чарльз Говард Хинтон
Curriculum Vitae of Tom Banchoff

Перевод С.Большаковой


Вы здесь » КНИГА МАТЕРЕЙ » Четвёртое измерение » Чарльз Говард Хинтон