Эта статья была опубликована в британском журнале "Interdisciplinary Science Reviews" в 1990 году:

От «Флатландии» до гиперграфики: взаимодействие с высшими измерениями.

Томас Ф. Банчофф
Department of Mathematics, Brown University, Providence, Rhode Island, USA

«Флатландии» более чем сто лет, переизданная в пяти новых английских издательствах за прошедшие шесть лет и переведённая на восемь иностранных языков, никогда она не была столь популярна, как теперь,  Как и раньше, большая часть её социальной сатиры всё ещё современна, но только теперь с развитием компьютерной графики мы можем оценить наблюдения явлений высших измерений, которые так сбили с толку двухмерного главного героя небольшого шедевра Эдвина Эббота Эббота. В этом обзоре мы попробуем ответить на вопросы: кем был автор книги и как он пришёл к её написанию.
Чуть больше чем сто лет назад директор школы написал тоненькую книгу, которая явилась сатирой на ограниченность социальной перспективы викторианской Англии и введением в геометрию высших измерений. Эта книга, под названием «Флатландия» несколько раз была на волне популярности, включая и настоящий момент, когда пять новых переизданий, появилось через столько же лет, и когда несколько авторов написали новые книги, вдохновлённые «Флатландией». Можно задать вопрос, почему книга пользовалась популярностью больше столетия, и почему к рассказу о четвёртом и выше измерениях обращаются и сегодня. Ответ находится во взаимодействии с высшими измерениями.
Эдвин Эббот Эббот не был первым человеком, определившим двумерную вселенную, населённую плоскими существами, но он был первым, кто попытался исследовать, как отразится на людях взаимодействие с измерениями выше, чем их собственные. Сегодня развитие компьютерной графики позволяет нам встретиться лицом к лицу с такими многомерными явлениями, но в наших исследованиях мы часто очень плохо вооружены, чтобы понять их, как и «Квадрат» - двухмерный главный герой «Флатландии»- сто лет назад.
Как «Флатландия» появилась на свет? Её автор - Эдвин Эббот Эббот – родившийся сто пятьдесят два года назад, был продуктивен. За пятьдесят лет им было написано более сорока пяти книг, но он не был математиком. За исключением короткого пассажа по геометрии в книге для наставников, гувернанток и родителей под названием «Hints on Home Teaching», он больше ничего не написал о математике помимо «Флатландии», этого почти безупречного введения в метод аналогии в применении к различным измерениям. Это что-то вроде экстраординарного явления для любого, даже образованного учителя викторианской школы: написать книгу, говоря о геометрии, не допустив ошибок и не опускаясь до полной ерунды. Эбботу удалось избежать этих ловушек, даже, несмотря на то, что его образование принадлежало области классики, богословия и истории. Где Эббот почерпнул идею использовать аналогию измерений в качестве сатиры? Как он развил эту идею, не совершив ошибок? И как эта идея согласуется с остальной частью творчества Эббота?
Трудно суммировать работу жизни человека настолько широко, как сделал это Эббот. Но появляется одна тема, которая объединяет его усилия. Он, прежде всего, был заинтересован чудесами и иллюзиями. Мы не можем познать Трансцендентное непосредственно, и если мы действительно, когда-либо почувствуем отблески этой сферы, то будем не состоянии ясно передать суть о нашей способности проникновения в неё. Всё же мы должны попробовать это сделать, имея в распоряжении все несовершенные средства сообщения, даже рискуя быть непонятыми, отвергнутыми и преследуемыми. Это основной урок Евангелий, а Эббот был богословом, заботившимся о способе, которым были получены Евангелия в его время.
Мы не можем утверждать с полной уверенностью, но мы можем идентифицировать несколько возможных источников первой встречи Эббота с идеями многомерности. И мы можем, конечно, установить явную связь с другим викторианским писателем – Чарльзом Говардом Хинтоном.

Фон для размерной аналогии

Прежде, чем установить связь между этими двумя людьми, уместно будет подготовить почву для развития аналогий измерений. До середины 19-ого столетия в Англии или где-либо ещё о природе четвёртого измерения и выше, было известно немного. Однако большой и научный и псевдонаучный интерес присутствовал, прежде всего, в Англии и Германии. Несколько писателей признали фундаментальную роль аналогии, ставшей основанием их интереса, так же, как мы поднимаемся от геометрии плоскости к стереометрии, возможно рассмотреть предмет вне стереометрии. Чтобы оценить трудность понимания таких более высоких конфигураций, полезно вообразить ситуацию существа из более низкого измерения, пытающего достигнуть соглашения с третьим измерением. Это мысленное осуществление захватило воображение многих авторов.

Фехнер, Платон и тень фигур

Первым человеком, который разовьёт аналогию измерений в 19-ом столетии, станет психолог и физиолог Густав Теодор Фехнер в Лейпциге. Он написал небольшую работу под названием «Space has Four Dimensions», как часть своего труда «Vier Paradoxe», изданного в 1846 году под псевдонимом «доктор Мизес». Двухмерное существо Фехнера было тенью человека, спроецированной на вертикальный экран матовым проектором. Оно могло взаимодействовать с другими тенями, но, базируясь на своём ограниченном опыте, оно не могло воспринимать направление перпендикулярное его экрану ((screen) – английское слово «скрин» или «скриншот» хорошо известно всем компьютерным пользователям и означает изображение, полученное компьютером и показывающее в точности то, что видит пользователь на экране монитора или другого визуального устройства вывода – прим. перевод.)) Фехнер предполагал, что для такого существа – время было бы третьим измерением, выражая движение его целого изображения (скрина) в направлении, которое он не может постигнуть пространственно. Идея рассмотрения фигур-теней возникла намного раньше, и восходит к мифу Платона о Пещере («Государство», книга 7 в сокращении. Диалог между Сократом и Главконом)

Вставка: отрывок из диалога Платона.

« ... посмотри-ка: ведь люди как бы находятся в подземном жилище наподобие пещеры, где во всю ее длину тянется широкий просвет. С малых лет у них там на ногах и на шее оковы, так что людям не двинуться с места, и видят они только то, что у них прямо перед глазами, ибо повернуть голову они не могут из-за этих оков. Люди обращены спиной к свету, исходящему от огня, который горит далеко в вышине, а между огнем и узниками проходит верхняя дорога, огражденная... невысокой стеной вроде той ширмы, за которой фокусники помещают своих помощников, когда поверх ширмы показывают кукол.
... за этой стеной другие люди несут различную утварь, держа ее так, что она видна поверх стены; проносят они и статуи, и всяческие изображения живых существ, сделанные из камня и дерева. При этом, как водится, одни из несущих разговаривают, другие молчат.
— Странный ты рисуешь образ и странных узников!
— Подобных нам. Прежде всего, разве ты думаешь, что, находясь в таком положении, люди что-нибудь видят, свое ли или чужое, кроме теней, отбрасываемых огнем на расположенную перед ними стену пещеры?» 

Тени это просто представления объектов, рассматриваемые трёхмерными наблюдателями, искусственно ограниченными только этими низкоразмерными убеждениями. Платон не предлагает способности взаимодействия теней друг с другом, и это сердце проницательности Фехнера.

Гельмгольц и неевклидова геометрия

История Фехнера о двухмерном человеке была переиздана под заглавием «Kleine Schriften» в 1875 году, а его идеи упомянуты в британском журнале «Mind» в 1876 году, когда J. M. P. Land ответил на статью коллеги Фихнера - Германа Людвига Фердинанда фон Гельмгольца. В середине 19-ого столетия обнаружился огромный интерес к неевклидовой геометрии, Гельмгольц писал об этом, используя сложность работы воображения двухмерного существа, вынужденного продвигаться вдоль неких мраморных поверхностей, пытаясь придти к познанию внутренней геометрии его миров без преимущества трёхмерной перспективы, которая могла бы выявить сразу все её свойства искривления. Английская версия его работы появилась в «Академии» уже в 1870 году, а полная статья была опубликована в «Mind» под заголовком «Аксиомы Геометрии».

Гаусс, Риман и внутренняя геометрия

Интерес к внутренней геометрии поверхностей прослеживается в работе Гаусса под названием «Treatise on the Geometry of Curved Surfaces».Его практический интерес к геодезии привёл к признанию эффекта кривизны в геометрии, например в определении суммы углов треугольника растянутого самыми короткими линиями на сфере или нерегулярной поверхности. Эти идеи были развиты в 1854 году в диссертации Бернхарда Римана «The Hypotheses Which Underlie Geometry», где были представлены внутренние измерения в абстрактных пространствах любого числа измерений, не требующие ссылок на содержащие пространства высшие измерения, в которых материальные объекты должны быть «изогнуты».
Все эти идеи были знакомы английским математикам, и приобрели популярность, благодаря усилиям Гельмгольца и британского учёного Джона Тиндаля, который встретил Гельмгольца в Германии в 1854 году. (Это могло быть простым совпадением, но Эдвин Эббот Эббот был приглашён на чай в дом Джордж Элиот и Чарльза Льюиса в 1871 году в тот же день, когда у них обедал Тиндаль. Льюис сам очень сильно интересовался интерпретациями Канта относительно геометрии высших измерений, что подтверждается перепиской, возникшей после выступления Дж.Л. Сильвестера под названием «A Plea for the Mathematician», где он превозносил силу распространения геометрических, а также алгебраических идей высших измерений.)

Рисунок Эббота. Дом Квадрата, который резюмирует социальную структуру Флатландии. Жена и дочери Квадрата нарисованы как одна линия, и по возрастанию социального положения: слуги, дворецкий, лакей и паж – треугольники. Владелец – Квадрат, и поскольку каждое будущее поколение добавляет ещё один угол, сыновья Квадрата – четыре пятиугольника и его двое внуков – шестиугольники. Входные двери в дом имеют соответствующую ширину для обоих полов.

Цёлльнер и спиритуалисты

Однако, самый большой интерес к четвёртому измерению выказывали не учёные и математики, а спиритуалисты, желающие выразить свои собственные теории. Американский медиум (и фокусник) Генри Слейд стал знаменитым после изгнания из Англии из-за мошенничества, связанного с духом, пишущим на грифельных досках. Поэтому  упоминание Слейда в качестве основного доказательства в псевдо-научных работах другого коллеги Фихнера и Гельмгольца в Лейпциге -  астронома Иоганна Карла Фридриха Цёлльнера – подверглось огромному скептицизму. В отличие от Фихнера и Гельмгольца, обладавших неким подобием уважения, Цёлльнер был полностью дискредитирован из-за своей связи со спиритизмом. Он совершенно верно понял, что любой человек, имеющий доступ к высшим измерениям сможет исполнить вещи, недоступные тем, кто ограничен только тремя измерениями. Цёлльнер предложил несколько экспериментов, которые демонстрировали его гипотезу.

Вставка из книги Мартина Гарднера «Этот правый левый мир»:

- А что вы скажете насчет некоторых медиумов, выступающих с так называемыми демонстрациями четвертого измерения? - поинтересовался я. - Не о них ли написал книгу один профессор астрофизики из Лейпцига?
В смехе Слейда послышались нотки замешательства.

Рис. 64. Неужели эту кожаную полоску можно заплести лишь в четырехмерном пространстве?

- Вы правы, это действительно сделал бедняга Иоанн Карл Фридрих Цельнер. Его книга "Потусторонняя физика" была переведена на английский язык в 1881 году, но сейчас даже перевод стал огромной редкостью. Цельнеру принадлежат интересные исследования в области спектрального анализа, но он считал ниже своего достоинства пользоваться методами фокусников, и в результате, по-видимому, попался на удочку американского медиума Генри Слейда.
- Слейда? - удивился я.
- Да, стыдно признаться, но мы с ним родственники. Он был моим двоюродным дедушкой. После его смерти осталось с дюжину толстых тетрадей, в которые он заносил свои методы. Эти тетради перешли по наследству к членам моей семьи с английской стороны, а потом были переданы мне.
- Невероятно интересно, - сказал я. - Не могли бы вы показать мне какой-нибудь фокус?
Моя просьба Слейду понравилась. Фокусы оказались одним из его хобби. Кроме того, Слейд считал, что некоторые фокусы Генри могут заинтересовать читателей с точки зрения математики.
Слейд достал из ящика письменного стола полоску кожи с двумя продольными разрезами, как показано на рис. 64 слева. Затем, протянув мне шариковую ручку, попросил как-нибудь пометить эту полоску, чтобы по ходу фокуса ее нельзя было подменить. Я поставил в углу полоски свои инициалы. Мы уселись за маленький стол друг против друга. Слейд несколько секунд подержал полоску под столом и затем показал мне ее снова. Узкие ленточки оказались переплетенными, как показано на рис. 64 справа! Подобное переплетение может получиться лишь в том случае, если ухитриться протащить все три ленточки через гиперпространство, в пространстве же трех измерении задача показалась мне невыполнимой.

Рис. 65. Можно ли завязать узел на резиновой ленте, не выходя в четырехмерное пространство?

Второй фокус был еще удивительнее. Слейд предложил мне внимательно рассмотреть широкое кольцо, вырезанное из мягкой резины (рис. 65). Затем он положил кольцо в спичечную коробку, торцы которой запечатал клейкой лентой. Слейд хотел было спрятать коробку под стол, но вдруг спохватился, что она никак не помечена. Я написал на этикетке жирную букву X.
- Хотите - держите ее сами под столом,- предложил Слейд.
Я согласился. Слейд нащупал под столом коробку и, взялся за нее с другой стороны. Послышался шорох, и я почувствовал, будто коробка немного задрожала.
Слейд разжал руки.
- Теперь откройте, пожалуйста, коробку. Вначале я ее очень внимательно осмотрел. Клейкая лента была на месте. На этикетке стояла моя пометка. Отковырнув ногтем клейкую ленту, я открыл коробку. Резиновая лента была завязана простым узлом, изображенным в правой части рис. 65.
- Даже если вы каким-то образом ухитрились открыть коробку и подменить кольцо, - сказал я, - то где вы раздобыли такую удивительную резинку?
- Мой дядя был искусным мошенником, - усмехнулся Слейд.
Мне было неудобно спрашивать Слейда о том, как делаются оба фокуса. Прежде чем заглянуть в ответ, попробуйте сообразить сами.
В тот день мы о многом говорили со Слейдом. Когда, наконец, я вышел из церкви Четвертого Измерения, сырые улицы Лондона окутал густой туман. Я опять почувствовал себя в Платоновой пещере. Расплывчатые силуэты движущихся машин с эллиптическими светящимися фарами напомнили мне известные строки из Рубайята великого Омара Хайяма:

"Что все мы? Лишь блуждающие тени,
Подвластные любому мановенью
Волшебного светильника в руках
Великого Властителя движенья".

Книга Цёлльнера «Потусторонняя физика» широко обсуждалась в прессе, а также некоторыми серьёзными учёными.

Эббот, иллюзии и чудеса

Эббот, конечно, знал обо всех этих идеях, хотя и не проявлял интереса к ним. Однако они, должно быть, представляли для него некоторое очарование, поскольку заставили его посмотреть другим взглядом на отношение между иллюзией и чудом. Если то, что мы чувствуем, как удивительный случай вопреки естественному положению вещей, позже проявляется как довольно естественное явление некоторой действительности, ранее не признаваемой, мы должны полностью переоценить ситуацию в свете нового знания. То, что раньше казалось нам противоречащим и не достойным внимания, принимается теперь с учётом новых фактов, которые могут быть выверены при помощи большей совокупности знаний. Из этого нужно вынести один урок – мы не должны зависеть от чудес, или от спиритизма или от религии, как оснований для наших верований.

Гарнетт, Максвелл и физика

Следующая связующая нить между Эбботом и научными кругами возникла, благодаря  одному его студенту – Уильяму Гарнетту (William Garnett), который был первым в математике в Школе лондонского Сити для мальчиков в том же году, что и  H. H. Asquith, будущий премьер министр, стал первым в классике. Гарнетт поступил в Тринити-колледж в Кембридже и стал главным ассистентом выдающегося физика Джеймса Клерка Ма́ксвелла. Гарнетт вместе с Льюсом Кэмпбеллом работал над биографией Максвелла. В книге показан интерес Максвелла к высшим измерениям, этот интерес проступает и в его стихах, где он называл четвёртое измерение местом, где могут быть развязаны узлы:

Моя душа – сложный узел
Лёгкий кованный вихрь
Тайна развязки его в четырёхмерном пространстве

Гарнетт поддерживал связь с Эботтом на протяжении всей своей карьеры, поэтому, вероятно, что он разделил бы свои идеи с ним, как только понял, что Эббот интересовался этим видом геометрии. Гарнетт переехал в Хэмпстед, где жил Эббот после выхода на пенсию. Он поздравлял с восьмидесятилетием Эббота, и присутствовал на его похоронах в 1926 году. Неудивительно, что им было написано предисловие к «Флатландии», когда книга была опубликована в том же году Бэзилом Блэквеллом (Basil Blackwell). Он обратил внимание на стихотворение Максвелла, написанное для Cayley Portrait Fund, где описывается тщетность попыток захвата на поверхности двухмерной картины чьей-то души, «той, что в n-пространстве цвела без границ». Он также процитировал письмо в Nature шестью годами ранее, ссылаясь на Эббота, как на пророка, предвидевшего актуальность аналогии измерений для понимания течения времени относительно пространства. Это письмо было подписано «W.G.», и если мы нуждаемся в каких либо дополнительных доказательствах, что оно было написано самим Гарнеттом, мы можем указать на появление во введении к «Флатландии» необычной фразы «игра ума», используемой Гарнеттом дважды в биографии Максвелла в том же самом 1926 году.

Хинтон и Кэндлер, аппингемская связь

Был ли какой либо из этих источников особым для Эббота, узнавшего о четвёртом измерении? Независимо от первого контакта, мы можем почти наверняка обнаружить основную ассоциацию, которая привела Эббота к идее четвёртого измерения, как основанию комбинации социальной сатиры и философского учения, а именно его знакомство с работами Чарльза Говарда Хинтона.
Хинтон был на пятнадцать лет младше Эббота, получил математическое образование в Оксфорде, интересовался физикой и нетрадиционной философией, связанной с идеями его отца Джеймса Хинтона, коллегой Хэвлока Эллиса. Хинтон уже успел написать работу о четвёртом измерении в 1880 году. Издал и переиздал её в Dublin University Magazine и в Cheltenham Ladies' Gazette в 1881 году. В это время он преподавал в Челтнемском Женском Колледже, Эббот же был тесно связан с вопросами женского образования, которые привели его к знакомству с директором этой школы мисс Басс. Возможно, он натолкнулся на работу Хинтона в одной из этих публикаций. Однако, более вероятно их личное знакомство, после того, как Хинтон стал научным сотрудником в Школе Аппингэма, где математику преподавал друг всей жизни Эббота - Говард Кэндлер.
Кэндлер и Эббот познакомились ещё в школьные годы, когда оба учились в Школе лондонского Сити. Они вместе поступили в Кембридж и дружили до конца своих дней. В течение двадцати пяти лет, во время преподавания Кэндлера в Аппингеме, они переписывались каждую неделю. (Письма Кэндлера и Эббота хранились до 1939 года, их использовали в качестве письменного источника истории Школы лондонского Сити, но потом они исчезли).
Выйдя на пенсию, Кэндлер переехал в Хэмпстед, таким образом, оказавшись со своей семьей, рядом с Эбботом. Эббот постоянно консультировался с Кэндлером по поводу своих богословских трудов, это даёт уверенность, что он писал ему о геометрической части «Советов домашнего обучения». И конечно, Эббот делился свои мыслями о «Флатландии», которая посвящалась «Обитателям Пространства и в частности H.C. (Говарду Кэндлеру – прим. перевод.)». Эббот определённо идентифицирует Кэндлера как «H.C.» , кому и была посвящена Флатландия», введение к одному из томов богословия, написанному сразу после смерти Кэндлера в 1916 году, и первое издание в библиотеку Тринити колледжа, пожертвованное одним из внуков Кэндлера подписано просто «To H.C., in particular». Легко представить письма, в которых Кэндлер говорит другу об идеях нового научного их владельца, Хинтона, и их актуальности для некоторых теологических и философских понятий, которые они обсуждали. Сложно сказать, когда именно возникла идея написать социальную сатиру, но она наверняка была написана в середине 1884 года и опубликована осенью. Встречались ли когда-либо Хинтон и Эббот? Никаких абсолютных доказательств этого нет, но вероятность встречи высока, поскольку семья Эббота часто бывала в Аппингеме, где встречалась с Кэндлером, и, скорее всего Эббот знал коллег своего друга. И, конечно, Эббот знал директора школы Аппингема Эдварда Тринга, основателя Headmaster's Conference, где Эббот служил секретарём. К сожалению, Тринг был вынужден уволить Хинтона, после его признания в двоежёнстве. Кэндлер не упоминается в части дневника Тринга, посвящённой неудачной истории с Хинтоном. Хинтон уехал из Англии, и в конечном итоге оказался в Америке, где он продолжил свою работу над физикой и философией четвёртого измерения. Маловероятно, что после этого у него с Эбботом были дальнейшие контакты. Появление «Флатландии» Эббота не стало препятствием для использования такого же названия Хинтоном в его «Эпизоде из жизни Флатландии» в следующем году, и нужно задать вопрос о возможном напряжении в их отношениях, которое должно быть последовало. Однако, очевидно, что ситуация самими авторами не рассматривалась как враждебная. Обращение их друг к другу в последующих работах указывает, что они рассматривали свои усилия, как дополняющие, а не конкурирующие друг с другом.
Ключевая отсылка Эббота содержится в книге 1887 года «Ядро и шелуха» («The Kernel and the Husk»). Рассказывая о книге, он пишет: «Вы знаете или возможно могли бы знать, если бы прочитали недавно изданную книгу под названием «Флатландия», а ещё лучше, если бы вы изучили очень талантливую и оригинальную работу г-на Ч.Г. Хинтона, что существо Четвёртого Измерения, если такое там есть, может зайти в нашу закрытую комнату, не открывая дверь или окно, более того, может даже проникнуть внутрь и обитать в нашем теле…даже если бы мы могли представить Пространство Четвёртого измерения – чего мы сделать не можем, хотя, возможно, мы можем описать некоторые его явления, если оно существует – мы не должны быть лучше морально или духовно. Это кажется мне скорее высоконравственным, чем интеллектуальным процессом для приближения к концепции духа: и может направлять нас навстречу этому не знанию четырёхмерного пространства.
Со своей стороны Хинтон ответил в «Научных романах», изданных в 1888 году, включая эссе «Что такое Четвёртое измерение?» и заканчивая тремя статьями о высших измерениях. Во введении к последним работам, он пишет: «В целом я хочу отослать читателя к изобретательной работе «Флатландия». Но, листая её снова и снова, я нахожу, что автор использовал свой талант с целью, чуждой моей работе. Поскольку, очевидно, что условия физики жизни на плоскости не были его главным объектом. Он использовал их, как место размещения своих уроков и сатиры. Но мы, прежде всего, хотим знать факты физики».
Действительно, работа Хинтона концентрируется на технологических аспектах двухмерного измерения и выше. По приезду в Соединённые Штаты, преподавая в Принстонском университете, и университете штата Миннесота, он работал в патентном бюро Вашингтона, округ Колумбия, и написал работы по физике и математике, часто используя четвёртое измерение в качестве пояснительного метода. (Современный математик А. Дьюдни со своими исследованиями двухмерных технологий является духовным наследником Хинтона и научной сферы. Философская сторона Хинтона представлена в наше время логиком и писателем Рудольфом Рукером, собравшим работы Хинтона под заглавием «Предположения о Четвёртом измерении»)

Эббот и философия

Но если Эббот не интересовался аспектами физики существования на плоскости, то каков тогда его объект исследования? Он отвечает на этот вопрос в своей книге «The Spirit on the Waters», написанной спустя почти десять лет после «Флатландии», в том числе названием этой книги на титульном листе вместе с тремя другими авторами: «Филохристус» (Philochristus: Memoirs of a Disciple of Our Lord–written in Elizabethan English, 1878), «Онисим» (Onesimus: Memoirs of a Disciple of Paul, 1882) и теологический трактат «Ядро и шелуха» (англ. The Kernel and the Husk; 1886), изначально все работы были изданы анонимно. В «The Spirit on the Waters» он рассказывает об итоговой сцене посещения Флатландии, где герой, Квадрат, сталкивается с изменением формы, произошедшей в его двумерной вселенной с приходом существа из третьего измерения. Он размышляет о возможных ответах квадрата, наиболее непосредственный из которых мог быть для поклонения этому явившемуся существу из-за его таинственных подобных Божьим полномочий. Это не так, говорит Эббот. Физическая или интеллектуальная сила, не показывает автоматически ни одного морального или духовного качества, которые мы должны требовать от любого объекта нашего обожания.
Эббот заключает:

«Эта иллюстрация четырёх измерений, предлагающая другие иллюстрации, получаемые с помощью математики, может служить двойной цели нашего настоящего исследования. С одной стороны, это может привести нас к более широким представлениям о возможных условиях и существовании; с другой стороны это может научить нас, что концепция таких возможностей не может прямым путём приближать нас к Богу. Математика может помочь нам измерить и взвесить планеты, обнаружить вещества, из которых они состоят, извлечь свет и тепло из движения воды и доминировать над материальной вселенной; но, даже если при помощи этих средств мы смогли бы дорасти до Марса или считаться жителями обратной стороны Юпитера или Сатурна, мы не будем ближе к небесному престолу, кроме той меры, в которой эти новые переживания могут развиваться в нашем смирении, уважении к фактам, глубоком почтении порядка и гармонии, и уме более открытом для новых наблюдений и выводов из старых истин».

Это последнее предложение усиливает итоговую фразу, посвященную Флатландии, уповая, что опыт освоения измерений будет способствовать «расширению воображения и возможному развитию того самого редкого и превосходного дара Смирения среди Высших Рас Человечества».

Флатландия и теологическая биллетристика

Мы определили несколько источников, из которых, возможно, Эббот узнал о понятии четвёртого измерения. Но он, вероятно, был первым, кто развил эту идею в социальные аллегории, и первым, кто рассмотрел возможность столкновения между существами разных измерений со всеми их проблемами и переживаниями. Эббот вполне осознавал ограничения, налагаемые Викторианцами на свои собственные способы мышления и знания. Он увидел самое важное сообщение, слово Христа, отвергаемое его современниками, которые были не в состоянии принять атрибуты чудес, используемые авторами Священного Писания в качестве средства для сообщения их истории. Он попытался отделить сообщение от чудесного языка, одного из самых претенциозных проектов Широкого Церковного движения.
Однажды он обратился к Джордж Элиот с просьбой принять вызов и взять на себя задачу по написанию романа, выражающего сообщение Евангелия свободного от волшебного языка. Она не сделала этого, и в конечном итоге Эббот сам закончил «Филохристуса» и «Онисима», каждый из которых рассказывает похожую историю, которая позже появится в графической форме «Флатландии». В «Филохристусе» главный герой – фарисей в начале первого века, и «Онисим» - история греческого раба в Послании Св.Павла Филемону. В каждом случае рассказчик находит себя в обществе, предоставляющим ответы на все вопросы в пределах ограниченной точки зрения. История формирует обстоятельства, не попадающие точно в рамки социальной системы, тем самым, требуя более высокого принципа объяснения. Тогда происходит столкновение с фигурой совершенно необычной, в одном случае это сам Христос, а в другом Св.Павел. Герой полностью преобразуется откровением высшего порядка, и в итоге возвращается в своё родное общество, пытаясь распространить эту хорошую новость, стоя на пороге разочарований и возможного преследования.
Легко заметить, где Флатландия вписывается в контекст пожизненного проекта Эббота. Этот один небольшой эпизод даёт ему шанс гораздо более внимательно изучить ограничения викторианского общества, его озабоченность классовым сознанием, социальным дарвинизмом, сопротивлением правам женщин или меньшинств или нонконформистов и растущего менталитета двух культур, отделяющего рациональное от интуитивного, и теоретический от практического порядка. Традиция сатиры, установленная Свифтом присутствует, атакуя некую слепоту Гулливера при встрече с Лилипутами или с которой столкнулась Алиса в другой более новой аллегории. Флатландия, тем не менее, отличается от них. Это путешествие Алисы Гулливера в Стране Чудес с точки зрения Белого Кролика. Мы не вступаем в странный мир сами. Странный мир окружает нас, и нам приходится иметь с ним дело.
Любопытно, отчего Эббот не захотел написать пьесу. Его специализацией в литературе был Шекспир и цитаты из пьес возглавляли каждую главу «Флатландии». Некоторые просто слова из пьес, но ключевой пассаж – любимый Эбботом, учитывая тему под рукой, именно «Буря»: «О brave new world! that have such people in «em.»

О, новый дивный мир,
В котором есть такие люди!

Когда мы сталкиваемся с новыми мирами, мы разделяем удивление Миранды, чтобы быть уверенными. Изо всех сил мы пытаемся сохранить порядок, который нам известен, но безуспешно, и, наконец, мы «опускаем руки» и предаёмся новому пониманию, везде, куда бы нас ни привело, зная, что наш опыт никогда не будет одинаковым снова.

Заключение

Карьера Эббота как учителя, писателя, учёного и внимательного наблюдателя своего мира, подготовила его для изучения общества и теологии, которое разорвёт связи и поможет людям реагировать по-новому. Викторианская Англия была описана в эпоху переходного периода. «Флатландия» явилась в переходное время для своего возраста и для возраста автора. Это итог более чем двадцати книг, написанных Эбботом ранее, и почва для другой половины его произведений на многие темы. До сих пор странно, что из целого множества работ, казалось бы, более значительных, часть, которая выживает и делает бессмертным Эббота, вероятно одна из наиболее любимых из написанного. Она появилась в замечательную эпоху, ключевая работа в жизни замечательного человека. Мы, кому расширили наше воображение и смирение, можем быть только благодарны.

Визуализация высших измерений сегодня

То, что предположил Эббот, и другие авторы 19-го века стало действительностью в настоящий момент. Столкновения с явлениями четвёртого измерения и выше были фабрикатом фантазии и оккультизма. Люди (кроме спиритуалистов) ожидали увидеть проявление четырёхмерных форм не больше, чем ожидали столкнуться с Лилипутами или Безумными Шляпниками. Сегодня, однако, у нас есть возможность не только наблюдать явления четвёртого измерения и выше, но также взаимодействовать с ними. Средой для такого взаимодействия служит компьютерная графика. Компьютерные графические устройства производят изображения на двумерных экранах. Каждая точка на экранах имеет два действительных числа как координаты, и компьютер сохраняет расположение точек и перечень пар точек, которые должны быть соединены отрезками или более сложными кривыми. Таким образом, на экране можно развивать и сохранять для последующего просмотра или дальнейших манипуляций схемы любой сложности.
Для использования в архитектуре или инженерном проектировании, компьютер должен закодировать информацию о точках трёхмерного пространства с каждой точкой, указанной тремя действительными числами. Компьютер тогда сможет показать любые двумерные представления об объекте, не только традиционные вид спереди, сбоку и сверху, но картинку из любой выбранной точки пространства. Техническое устройство, которое выполняет это - матрица, которая отслеживает происходящее с данным фреймом. Как только мы говорим, что что-то происходит с сегментами в наблюдаемом фрейме, позиции остальных точек определяется простым способом и проецируется на двумерный экран. Хотя мы видим только две из трёх координат, третья сохраняется в компьютере, готовом для дальнейших исследований.
В отличие от человека-оператора компьютер имеет несколько представлений о том, в каком измерении это находится. Так же легко, как он «держит» три координаты для каждой точки, он может, если правильно запрограммирован, удерживать четыре и больше координаты. Часто четвёртая координата может указать некоторые свойства точки на экране, такие как цвет или яркость. В других случаях это может представлять четвёртую пространственную координату, взаимозаменяемую с другими тремя, так же, как длиной, шириной и высотой блока можно управлять в третьем измерении. Если мы хотим работать с четырёхмерным блоком, мы должны предоставить информацию об основе с четырьмя сегментами, а не только с тремя. В то же время, мы можем завершить рисунок трёхмерного блока, поскольку знаем отображения трёх сегментов упоминаемой основы в одном углу, мы можем сделать трёхмерную модель тени четырёхмерного блока, как только нам известны положения в трёхмерном пространстве изображений четырёх сегментов в четырёхмерной основе. Мы можем пойти далее и спроектировать эту трёхмерную структуру на экран компьютера, где мы можем взаимодействовать с ним так, как мы делали это с чертежами здания или планами станка. Таким образом, мы используем весь наш опыт интерпретации двумерных изображений трёхмерных объектов, помогающих нам двигаться вперёд ещё на один шаг в интерпретации трёхмерных представлений объектов, требующих четвёртой координаты для их эффективного описания.
Но какие явления требуют такого высокого размерного анализа? Помимо естественного расширения абстрактной плоскости и стереометрии четвёртого и более высокого уровня, существует широкое практическое использование возможностей, которых мы можем достигнуть для визуализации явлений в четвёртом и выше измерении. Одним из наиболее значительных является область анализа исследовательских данных. Простую таблицу соотношений высоты и веса ряда лиц в городе, проще интерпретировать, когда данные представлены в виде диаграммы рассеяния, представляющей информацию о каждом человеке, как точку в двухмерной системе координат. Если точки имеют тенденцию группироваться в линию, то есть, тенденция может быть выражена простым линейным выражением, которое помогает предсказать факты о дальнейших данных.
Если таблица содержит три числа для каждого отдельного человека, скажем размера обуви, то диаграмма требует трёх измерений. Тенденцию можно заметить снова, если точки расположены вблизи некой конкретной линии, или некоторой плоскости. Стандартные методы статистики помогут выявить такие линейные отношения даже прежде обращения за помощью к трёхмерному измерению. Конечно, компьютер может воспроизвести такие участки, проецируя точки трёхмерного пространства в различных плоскостях для попытки найти более показательные виды.
Этот метод пригоден для гораздо более сложных явлений, где характеристики каждого отдельного человека описаны четырьмя, пятью или большим количеством переменных. Это легко себе представить на данных экономики, биологии или физики, где каждая точка данных может иметь десятки или сотни координат. Анализ исследований предоставляет человеку способ как человеку-наблюдателю для взаимодействия с такими высокоразмерными наборами данных, изучения совокупности представлений, полученных путём проецирования на двух или трёхмерные пространства. Может случиться так, что различные конфигурации данных напоминают конфигурации уже наблюдаемые при изучении изображений модели структур, не только линий и плоскостей, но и более сложных кривых и поверхностей. Наш опыт с феноменами геометрии кривых и поверхностей в трёх- и четырёхмерном пространстве предоставляет инструменты для интерпретации данных конфигураций, возникающих в результате реальных наблюдений.
Мы никогда не сможем понять структуру облака точек в четырёхмерном пространстве тем же способом, который мы принимаем для модели точек на плоскости или, пытаясь понять тонкости обычного трёхмерного пространства. Мы разделяем с Квадратом, главным героем Флатландии неспособность «видеть» в измерении выше, чем наше собственное. Но, как и Квадрат, мы можем разработать методы в ответ на представления многомерных феноменов в нашем мире. Сложная задача современной компьютерной графики прямо соответствует одной из главных целей Эдвина Эббота Эббота во введении к его вневременной книге, а именно поощрять в человечестве эту почтенную и редкую добродетель -  смирение. Мы по достоинству ценим «Флатландию» всё больше по прошествии времени.
____________________________________

Томас Ф. Банчофф – профессор математики Университета Брауна в Провиденсе, штат Род-Айленд с 1967 года. Он написал две книги и пятьдесят статей по геометрической теме, часто включающие интерактивные компьютерные графические методы для изучения явлений четвёртого измерения и выше. Томас получил степень бакалавра искусств в Университете Нотр-Дам и докторскую степень в университете Калифорнии. Беркли.
Томас Банчофф – обладатель награды Lester Ford за экспозицию, и награды Joseph Priestley от Дикинсон колледжа. Его фильмы с использованием компьютерной графики получили международные награды и были представлены на международном конгрессе математиков. На столетие «Флатландии» в 1984 году Банчофф представил лекцию в Школе лондонского Сити (с 1865 по 1889 год директором школы был Эдвин Эббот Эббот – прим. перев.) и организовал трёхдневную конференцию в Университете Брауна, чтобы отметить вклад Эдвина Эббота Эббота, и развитие визуализации высших измерений за последнее столетие.

Curriculum Vitae of Tom Banchoff

Перевод С.Большаковой